《H.264/AVC視頻編解碼技術詳解》視頻教程已經在“CSDN學院”上線，視頻中詳述了H.264的背景、標準協議和實現，並通過一個實戰工程的形式對H.264的標準進行解析和實現，歡迎觀看！
“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，只有自己按照標準文檔以代碼的形式操作一遍，才能對視頻壓縮編碼標準的思想和方法有足夠深刻的理解和體會！
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1. 矩陣的定義
矩陣，英文稱爲”Matrix”，是數學中一個非常重要的概念。從形式上看，矩陣可以用一個m行n列的數組成的表格表示。如下圖可表示一個4行4列的方形矩陣：
在實際應用中，矩陣可以在多個技術領域發揮重要作用，如音視頻壓縮編碼、機器學習、人工智能等領域。
2. 矩陣的運算
矩陣必須在計算中才能與其他數據進行交互。在《線性代數》中我們已經清楚地知道，矩陣可以進行求和、數乘和與矩陣相乘等運算。其中矩陣的求和與數乘運算十分簡單：
- 矩陣求和：同型矩陣可以求和，即將對應元素求和組成新的矩陣；
- 矩陣數乘：任何矩陣都可與實數相乘，即將每個元素與該數字相乘組成新的矩陣；
而相比之下，矩陣與矩陣相乘會略顯複雜，需要滿足必要條件，即矩陣1的寬必須等於矩陣2的高方可相乘。乘積矩陣的高和寬分別爲矩陣1的高和矩陣2的寬，如下圖表示：
其中，乘積矩陣的元素的計算方法爲：
通常，我們將只有一行或一列的矩陣稱之爲向量。根據排列的不同，按行或列排列的向量分別稱之爲行向量和列向量。
3. 向量和矩陣的線性變換
向量的線性變換定義爲：向量y的每一個元素都是向量x中元素的線性組合，則y是x的線性變換。假設有向量[x1, x2, x3]和向量[y1, y2, y3]，兩個向量滿足以下關係：
- y1 = a11 * x1 + a12 * x2 + a13 * x3
- y2 = a21 * x1 + a22 * x2 + a23 * x3
- y3 = a31 * x1 + a32 * x2 + a33 * x3
那麼我們稱向量[y1, y2, y3]可以被向量[x1, x2, x3]線性表示，以公式形式則表示爲y=A·x。其含義可表示爲矩陣與向量相乘：
矩陣A即爲該線性變換的矩陣。
將向量的變換推廣，矩陣可以視爲由向量構成，因此線性線性變換同樣適用於矩陣的變換：
4. 向量的正交性、正交矩陣和正交變換
要了解向量的正交性，首先應瞭解向量的內積的概念。在“不嚴格”的條件下，我們暫且可以將向量的內積理解爲數量積，即兩個相同長度向量對應元素乘積的總和。用公式表示爲：
而向量的正交，等價於兩個向量的內積爲0。即：
在二維和三維空間內直觀地表示，兩個正交向量相互垂直：
由於矩陣可視爲由多個列向量構成，那麼多個兩兩正交的向量可以構成正交矩陣。一個矩陣是正交矩陣需要滿足的條件有：
- 行數和列數相等，即正交矩陣都爲方陣；
- 每一個列向量均爲單位向量，即長度均爲1；
- 各列向量兩兩正交；
前面提到，每一個矩陣都可以與一個線性變換對應。那麼如果一個線性變換對應的變換矩陣是正交矩陣，那麼該變換就是一個正交變換。正交變換的顯著特點之一是，向量經過正交變換後長度不會發生變化。
5. 離散餘弦變換
離散餘弦變換 (Discrete Cosine Transform, DCT)類似於一種實數類型的離散傅里葉變換(DFT)，其定義有多種形式（可參考維基百科：離散餘弦變換)。常用場合中使用的離散餘弦變換是一個正交變換，其正變換和逆變換的計算方法如：
由於DCT具有類似於DFT的特性，DCT也可以實現如信息能量集中的功能。對於圖像數據，DCT可以有效將大部分的能量集中與直流和低頻部分，這也成爲視頻壓縮中變換編碼的理論基礎之一。實際上，DCT長期應用與多種圖像和視頻的壓縮編碼標準中：
- 視頻：MPEG-1/MPEG-2;
- 圖像：JPEG
在H.264及更新的視頻壓縮標準中，採用的是DCT的優化改進版——整數變換。相對於浮點類型的離散餘弦變換，整數變換有效降低了變換操作的運算複雜度，提升了編解碼器的運行效率。