第二天
題目：扔雞蛋問題
有2個雞蛋，從100層樓上往下扔，以此來測試雞蛋的硬度。比如雞蛋在第9層沒有摔碎，在第10層摔碎了，那麼雞蛋不會摔碎的臨界點就是9層。
問：如何用最少的嘗試次數，測試出雞蛋不會摔碎的臨界點？
舉個栗子，最笨的測試方法，是什麼樣的呢？把其中一個雞蛋，從第1層開始往下扔。如果在第1層沒碎，換到第2層扔；如果在第2層沒碎，換到第3層扔.......如果第59層沒碎，換到第60層扔；如果第60層碎了，說明不會摔碎的臨界點是第59層。
在最壞情況下，這個方法需要扔100次。
方法一：二分法
採用類似於二分查找的方法，把雞蛋從一半樓層（50層）往下扔。
如果第一枚雞蛋，在50層碎了，第二枚雞蛋，就從第1層開始扔，一層一層增長，一直扔到第49層。
如果第一枚雞蛋在50層沒碎了，則繼續使用二分法，在剩餘樓層的一半（75層）往下扔......
這個方法在最壞情況下，需要嘗試50次。
方法二：平方根法
如何讓第一枚雞蛋和第二枚雞蛋的嘗試次數，儘可能均衡呢？
很簡單，做一個平方根運算，100的平方根是10。
因此，我們嘗試每10層扔一次，第一次從10層扔，第二次從20層扔，第三次從30層......一直扔到100層。
這樣的最好情況是在第10層碎掉，嘗試次數爲 1 + 9 = 10次。
最壞的情況是在第100層碎掉，嘗試次數爲 10 + 9 = 19次。
不過，這裏有一個小小的優化點，我們可以從15層開始扔，接下來從25層、35層扔......一直到95層。
這樣最壞情況是在第95層碎掉，嘗試次數爲 9 + 9 = 18次。
假設最優的嘗試次數的x次，爲什麼第一次扔就要選擇第x層呢？
這裏的解釋會有些燒腦，請小夥伴們坐穩扶好：
假設第一次扔在第x+1層：
如果第一個雞蛋碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層開始一層一層扔，一直扔到第x層。
這樣一來，我們總共嘗試了x+1次，和假設嘗試x次相悖。由此可見，第一次扔的樓層必須小於x+1層。
假設第一次扔在第x-1層：
如果第一個雞蛋碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層開始一層一層扔，一直扔到第x-2層。
這樣一來，我們總共嘗試了x-2+1 = x-1次，雖然沒有超出假設次數，但似乎有些過於保守。
假設第一次扔在第x層：
如果第一個雞蛋碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層開始一層一層扔，一直扔到第x-1層。
這樣一來，我們總共嘗試了x-1+1 = x次，剛剛好沒有超出假設次數。
因此，要想盡量樓層跨度大一些，又要保證不超過假設的嘗試次數x，那麼第一次扔雞蛋的最優選擇就是第x層。
方法三：解方程法
x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100
這個方程式不難理解：
左邊的多項式是各次扔雞蛋的樓層跨度之和。由於假設嘗試x次，所以這個多項式共有x項。
右邊是總的樓層數100。
下面我們來解這個方程：
x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100 轉化爲
(x+1)*x/2 = 100
最終x向上取整，得到 x = 14
因此，最優解在最壞情況的嘗試次數是14次，第一次扔雞蛋的樓層也是14層。
最後，讓我們把第一個雞蛋沒碎的情況下，所嘗試的樓層數完整列舉出來：
14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100
舉個栗子驗證下：
假如雞蛋不會碎的臨界點是65層，那麼第一個雞蛋扔出的樓層是14，27，50，60，69。這時候啪的一聲碎了。
第二個雞蛋繼續，從61層開始，61，62，63，64，65，66，啪的一聲碎了。
因此得到不會碎的臨界點65層，總嘗試次數是 6 + 6 = 12 < 14 。
首先，題目提到只有“兩個雞蛋” “兩個雞蛋” “兩個雞蛋”，要知道第一個雞蛋用來試錯的, 只要它從 k 層樓扔下去沒碎, 則目標就在[k+1, 100]之間了.
但一旦運氣不好碎了, 對於已知的區間, 我們只能用剩下一個雞蛋從小到大一層層試,
因爲我們要保證策略必須成功, 不能冒險了.
"最壞情況下代價最小"這句話十分重要, 它反映了題目的重要數學結構:
我們可以把任何一種策略都看成一個決策樹,
每一次扔雞蛋都會有兩個子節點, 對應碎與不碎的情況下下一步應該扔的樓層.
那麼, 策略的一次執行, 是樹中的一條從根往下走的路,
當且僅當這條路上出現過形如 k 沒碎 與 k+1 碎了的一對節點時, 路停止, 當前節點不再擴展.
那麼要找的是這麼一棵樹, 使得所有路里最長者儘量短, 也即, 要找一個最矮的決策樹.
基於數學方程的方法（通俗版）
假設最少嘗試次數爲x，那麼，第一個雞蛋必須要從第x層扔下，因爲：如果碎了，前面還有x - 1層樓可以嘗試，如果沒碎，後面還有x-1次機會。
如果沒碎，第一個雞蛋，第二次就可以從x +（x - 1）層進行嘗試，爲什麼是加上x - 1，因爲，當此時，第一個雞蛋碎了，第二個雞蛋還有可以從x+1 到 x + (x - 1) - 1層進行嘗試，有(x+1)+(x + (x - 1) - 1)+1=x - 2次。如果還沒碎，那第一個雞蛋，第三次從 x + (x - 1) + (x - 2)層嘗試。碎或者沒碎，都有x - 3次嘗試機會，依次類推。那麼，x次的最少嘗試，可以確定的最高的樓層是多少呢？ x + (x - 1) + (x - 2) + … + 1 = x(x+1) / 2 那反過來問，當最高樓層是100層，最少需要多少次呢？x(x+1)/2 >= 100, 得到x>=14，最少要嘗試14次。
