點到向量距離（含Python代碼）

向量間投影和距離

這段時間用到了點到向量的距離，發現已經還給高數老師了。借這篇博客（參考英文博客）總結回顧一下，並且附上Python代碼。先回顧下向量點積和叉乘公式，a⋅b=|a||b|cos(θ)$a\cdot b=|a||b|cos(\theta )$ ，a×b=|a||b|sin(θ)$a\times b=|a||b|sin(\theta )$ 。

從下圖可以看出b向量在a向量上的投影長度是|b|cos(θ)$|b|cos(\theta )$ ，可以通過b和a的點積除以a的長度，實際的投影向量projba=(a/|a|)(a⋅b/|a|)$pro{j}_a^b=(a/|a|)(a\cdot b/|a|)$ 。同理，b到a的距離爲|b|sin(θ)$|b|sin(\theta )$ ，可以通過b和a的叉乘除以a的長度得到，即orthba=(a×b)/|a|$ort{h}_a^b=(a\times b)/|a|$ 。可知distance=|a×b|/|a|$distance=|a\times b|/|a|$ ，並且b=projba+orthba$b=pro{j}_a^b+ort{h}_a^b$ 。

點到向量的距離

考慮下圖中上半部分，求點P到直線L的距離，其中L的方向向量是v。任取直線上一點Q，d=|QP×v|/|v|$d=|QP\times v|/|v|$ ，設P點座標爲(1,3,8)，Q點座標是(-2,1,3)，可知QP=<3,2,11>$QP=<3,2,11>$ ，另設v=<1,−2,−1>$v=<1,-2,-1>$ 。

通過叉乘的計算公式（如下圖，聯想行列式計算公式），我們可知QP×v=20i+14j−8k$QP\times v=20i+14j-8k$ 。通過distance=|a×b|/|a|$distance=|a\times b|/|a|$ ，可知d≈10.49$d\approx 10.49$ 。

Python程序

可以通過Python腳本模擬上述過程，代碼如下。np.cross(QP,v)$np.cross(QP,v)$ 求QP×v$QP\times v$ ，np.linalg.norm(v)$np.linalg.norm(v)$ 求|v|$|v|$ ，兩者相除之後再進行一次np.linalg.norm$np.linalg.norm$ 得到d=|QP×v|/|v|$d=|QP\times v|/|v|$ ，結果跟手動計算一致。

import numpy as np

QP = np.array([3,2,11])
v = np.array([1,-2,-1])

h = np.linalg.norm(np.cross(QP, v)/np.linalg.norm(v))

print h