点到向量距离（含Python代码）

向量间投影和距离

这段时间用到了点到向量的距离，发现已经还给高数老师了。借这篇博客（参考英文博客）总结回顾一下，并且附上Python代码。先回顾下向量点积和叉乘公式，a⋅b=|a||b|cos(θ)$a\cdot b=|a||b|cos(\theta )$ ，a×b=|a||b|sin(θ)$a\times b=|a||b|sin(\theta )$ 。

从下图可以看出b向量在a向量上的投影长度是|b|cos(θ)$|b|cos(\theta )$ ，可以通过b和a的点积除以a的长度，实际的投影向量projba=(a/|a|)(a⋅b/|a|)$pro{j}_a^b=(a/|a|)(a\cdot b/|a|)$ 。同理，b到a的距离为|b|sin(θ)$|b|sin(\theta )$ ，可以通过b和a的叉乘除以a的长度得到，即orthba=(a×b)/|a|$ort{h}_a^b=(a\times b)/|a|$ 。可知distance=|a×b|/|a|$distance=|a\times b|/|a|$ ，并且b=projba+orthba$b=pro{j}_a^b+ort{h}_a^b$ 。

点到向量的距离

考虑下图中上半部分，求点P到直线L的距离，其中L的方向向量是v。任取直线上一点Q，d=|QP×v|/|v|$d=|QP\times v|/|v|$ ，设P点座标为(1,3,8)，Q点座标是(-2,1,3)，可知QP=<3,2,11>$QP=<3,2,11>$ ，另设v=<1,−2,−1>$v=<1,-2,-1>$ 。

通过叉乘的计算公式（如下图，联想行列式计算公式），我们可知QP×v=20i+14j−8k$QP\times v=20i+14j-8k$ 。通过distance=|a×b|/|a|$distance=|a\times b|/|a|$ ，可知d≈10.49$d\approx 10.49$ 。

Python程序

可以通过Python脚本模拟上述过程，代码如下。np.cross(QP,v)$np.cross(QP,v)$ 求QP×v$QP\times v$ ，np.linalg.norm(v)$np.linalg.norm(v)$ 求|v|$|v|$ ，两者相除之后再进行一次np.linalg.norm$np.linalg.norm$ 得到d=|QP×v|/|v|$d=|QP\times v|/|v|$ ，结果跟手动计算一致。

import numpy as np

QP = np.array([3,2,11])
v = np.array([1,-2,-1])

h = np.linalg.norm(np.cross(QP, v)/np.linalg.norm(v))

print h