數值分析 第三章 線性方程組的迭代法

係數矩陣

符號A 代表係數矩陣。

嚴格對角佔優

∑i=1j≠in∣∣aij∣∣⩽|aii|,i=1,2,...,n

對稱正定

判定方法1：特徵值全是正，且對稱；
判定方法2：各階順序主子式全是正，且對稱。

係數矩陣的形式化說明

A=D−L−U

D=diag(a11,a22,...,ann)

−L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0a21a31...an10a32...an20......ann−10⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0a120a13a23............0a1na2n...an−1,n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

迭代矩陣

符號M 代表係數矩陣。

先驗、後驗誤差

∥∥x(k)−x∗∥∥⩽∥M∥k1−∥M∥∥∥x(1)−x(0)∥∥

∥∥x(k)−x∗∥∥⩽∥M∥1−∥M∥∥∥x(k)−x(k−1)∥∥

收斂條件

迭代矩陣M 收斂⇔ρ(M)<1 ;
迭代矩陣M 收斂⇐∥M∥<1 .

常用的迭代解法

1. Jacobi迭代法
   分量形式
   

   x(k+1)i=1aii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k)j−∑j=i+1naijx(k)j⎞⎠
   i=1,2,...,n;k=0,1,...
   
   矩陣形式
   
   B=D−1(L+U)
   
   收斂條件
   (1) 係數矩陣A 以及2D−A 都是對稱正定矩陣⇒ Jacobi迭代法收斂；
   (2) 係數矩陣A 嚴格對角佔優⇒ Jacobi迭代法收斂

2. Gauss-Seidel迭代法
   分量形式
   

   x(k+1)i=1aii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k+1)j−∑j=i+1naijx(k)j⎞⎠
   i=1,2,...,n;k=0,1,...
   
   矩陣形式
   
   G=(D−L)−1U
   
   收斂條件
   (1) 係數矩陣A 是對稱正定矩陣⇒ Gauss-Seidel迭代法收斂；
   (2) 係數矩陣A 嚴格對角佔優⇒ Gauss-Seidel迭代法收斂

3. SOR迭代法
   分量形式
   

   x(k+1)i=x(k)i+ωaii⎛⎝bi−∑j=1i−1aijx(k+1)j−∑j=inaijx(k)j⎞⎠
   i=1,2,...,n;k=0,1,...
   
   矩陣形式1
   Sω=(D−ωL)−1[(1−ω)D+ωU]

   收斂條件
   (1) SOR收斂 ⇒ 0<ω<2 ;
   (2)

   {系數矩陣A是對稱正定矩陣0<ω<2⇒SOR迭代法收斂
   
   (3)
   {系數矩陣A嚴格對角佔優0<ω⩽1⇒SOR迭代法收斂

---

---

1. \pounds在編輯器中使用LaTex方式打不出來，因此將\pounds用S代替了。 ↩