最小二乘法曲線擬合以及Matlab實現

最小二乘法曲線擬合以及Matlab實現

在實際工程中，我們常會遇到這種問題：已知一組點的橫縱座標，需要繪製出一條儘可能逼近這些點的曲線（或直線），以進行進一步進行加工或者分析兩個變量之間的相互關係。而獲取這個曲線方程的過程就是曲線擬合。

目錄

• 最小二乘法直線擬合原理
• 曲線擬合
• Matlab實現代碼

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最小二乘法直線線擬合原理

首先，我們從曲線擬合的最簡單情況——直線擬合來引入問題。如果待擬合點集近似排列在一條直線上時，我們可以設直線 y=ax+b$y=ax+b$ 爲其擬合方程，係數 A=[a,b]$A=[a,b]$ 爲待求解項，已知：
。

用矩陣形式表達爲： Y=X0A$Y=X_{0}A$ ，其中：

要求解A，可在方程兩邊同時左乘 X0$X_0$ 的逆矩陣，如果它是一個方陣且非奇異的話。

但是，一般情況下 X0$X_0$ 連方陣都不是，所以我們在此需要用 X0$X_0$ 構造一個方陣，即方程兩邊同時左乘 X0$X_0$ 的轉置矩陣，得到方程: XT0Y=XT0X0A$X_0^{T}Y=X_0^T{X}_{0}A$ 。

此時，方程的係數矩陣 XT0X0$X_0^T{X}_0$ 爲方陣，所以兩邊同時左乘新系數矩陣 XT0X0$X_0^T{X}_0$ 的逆矩陣，便可求得係數向量A ，即：(XT0X0)−1XT0Y=A$(X_0^T{X}_0{)}^{-1}{X}_0^{T}Y=A$ 。

方程A=(XT0X0)−1XT0Y$A=(X_0^T{X}_0{)}^{-1}{X}_0^{T}Y$ 右邊各部分均已知，所以可直接求解得到擬合直線的方程係數向量A。

曲線線擬合

當樣本點的分佈不爲直線時，我們可用多項式曲線擬合，即擬合曲線方程爲n階多項式

y=∑ni=0aixi=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0$y=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ 。

用矩陣形式表示爲： Y=X0A$Y=X_{0}A$ ，其中：

待求解項爲係數向量A=[an,an−1,...,a2,a1,a0]T$A=[a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1,a_0{]}^T$ 。

曲線擬合方程Y=X0A$Y=X_{0}A$ 的求解方法與上面直線的求解方法一樣，也是在方程Y=X0A$Y=X_{0}A$ 兩邊同左乘X0$X_0$ 的轉置矩陣得到: XT0Y=XT0X0A$X_0^{T}Y=X_0^T{X}_{0}A$ ，

再同時在新方程兩邊同時左乘XT0X0$X_0^T{X}_0$ 的逆矩陣，得到：(XT0X0)−1XT0Y=A$(X_0^T{X}_0{)}^{-1}{X}_0^{T}Y=A$

上式左邊各部分均已知，所以可直接求解得擬合曲線方程的係數向量A。

Matlab實現代碼

%by [email protected]
clear
clc
x=[2,4,5,6,6.8,7.5,9,12,13.3,15];
y=[-10,-6.9,-4.2,-2,0,2.1,3,5.2,6.4,4.5];
[~,k]=size(x);
for n=1:9
    X0=zeros(n+1,k);
    for k0=1:k           %構造矩陣X0
        for n0=1:n+1
            X0(n0,k0)=x(k0)^(n+1-n0);
        end
    end
    X=X0';
    ANSS=(X'*X)\X'*y';
    for i=1:n+1          %answer矩陣存儲每次求得的方程係數，按列存儲
       answer(i,n)=ANSS(i);
   end
    x0=0:0.01:17;
    y0=ANSS(1)*x0.^n    ;%根據求得的係數初始化並構造多項式方程
    for num=2:1:n+1     
        y0=y0+ANSS(num)*x0.^(n+1-num);
    end
    subplot(3,3,n)
    plot(x,y,'*')
    hold on
    plot(x0,y0)
end
suptitle('不同次數方程曲線擬合結果，從1到9階')

運行結果

擬合曲線結果：

可以看出看來，當多項式的階數過小是，曲線並不能很好地反映出樣本點的分佈情況；但階數過高時，會出現過擬合的情況。

係數矩陣answer：

Matlab自帶函數——polyfit

在matlab中，也有現成的曲線擬合函數polyfit，其也是基於最小二乘原理實現的，具體用法爲：ans=polyfit(x,y,n). 其中x,y爲待擬合點的座標向量，n爲多項式的階數。

下面代碼是用polyfit函數來做曲線擬合：

clear
clc
x=[2,4,5,6,6.8,7.5,9,12,13.3,15];
[~,k]=size(x);
y=[-10,-6.9,-4.2,-2,0,2.1,3,5.2,6.4,4.5];
for n=1:9
    ANSS=polyfit(x,y,n);  %用polyfit擬合曲線
    for i=1:n+1           %answer矩陣存儲每次求得的方程係數，按列存儲
       answer(i,n)=ANSS(i);
   end
    x0=0:0.01:17;
    y0=ANSS(1)*x0.^n    ; %根據求得的係數初始化並構造多項式方程
    for num=2:1:n+1     
        y0=y0+ANSS(num)*x0.^(n+1-num);
    end
    subplot(3,3,n)
    plot(x,y,'*')
    hold on
    plot(x0,y0)
end
suptitle('不同次數方程曲線擬合結果，從1到9階')

####運行結果：
用polyfit擬合的結果與第一份代碼運行的結果基本一樣

申明

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