EMD即Earth Mover's Distance，是2000年IJCV期刊文章《The Earth Mover's Distance as a Metric for Image Retrieval》提出的一種直方圖相似度量（作者在之前的會議論文中也已經提到，不過鑑於IJCV的權威性和完整性，建議參考這篇文章）。基於一個經典的運輸問題求解，作者提出的EMD距離本人看來是一個非常好的度量方式。如果想細緻深入的理解，建議參考這篇論文。從網上沒有搜到多少對它的通俗的解釋，這裏將嘗試以淺顯易懂的方式進行闡述，希望對大家能有所幫助。
一、基本概念解釋
爲了進一步討論它的細節，首先要介紹一下signature的概念，很簡單，一看就懂。
(1) 先說直方圖。大家都知道，一個圖像的直方圖就是把圖像像素值量化爲一系列bin，統計落在相應bin的像素個數，就形成了直方圖。
(2) signature（請恕我不知道怎麼準確翻譯這個詞哈，只能用英文了）的定義爲
它代表了一系列特徵類別。每個s代表一類特徵，m爲其類中心，w爲屬於該類中心的數量。
爲什麼要用signature呢？作者的說法是經常性的直方圖的內容會聚集在某些bin上，而傳統的完整表達的直方圖顯然太過於浪費空間。而用signature可以很方便的表達比較稀疏的直方圖內容。（爲什麼稀疏？一個灰度圖形成的一維直方圖可能不會稀疏，但是想象一個三維直方圖，它可能就會比較稀疏了）
對於一個一維直方圖，m爲直方圖的bin索引，w爲該bin上的數量，相信就更容易理解了！
二、EMD
接下來言歸正傳，開始解釋EMD。下面都是基於signature，記住它和直方圖的對應關係，第一個值是類中心（一維直方圖的bin索引），第二值是數量（一維直方圖中某個bin中的數量）。
EMD本身是一個線性規劃問題。定義如下兩個signature P和Q，分別有m和n個類。
另外定義一個類別的距離矩陣，每一項dij爲pi和qj的距離（在均勻的直方圖中，距離就可以簡化爲bin的索引的差值的絕對值）。可以發現它是mxn的矩陣。
那麼問題就是我們希望找到一個流（flow，我這麼翻譯合適嗎？），當然也是個矩陣[fij]，每一項fij代表從pi到qj的流動數量，從而最小化整體的代價函數：
這裏就可以把EMD的本質說出來了（Earth就是土的意思，EMD其實就是搬土大賽啊），說白了，就是把P中的m個坑的土，用最小的代價搬到Q中的n個坑中，pi到qj的兩個坑的距離由dij來表示。fij是從pi搬到qj的土的量；dij是pi位置到qj位置的代價（距離）。要最小化WORK工作量。EMD是把這個工作量歸一化以後的表達，即除以對fij的求和。
這裏就要思考它的限制條件了。
- fij不能小於0（當然了，現實中土的數量怎麼可能是負的呢）
- fij對j的求和不能超過wpi，也即是pi中的土的數量，也就是說，從pi處搬出去的土不能超過它那裏存的量
- fij對i的求和不能超過wqj，也即是qj中的土的數量，也就是說，搬到qj處的土不能超過它那裏的總容量
- fij的總求和一定不能超過wpi的總和，也即是P中的土的總量，也就是說，你搬空了就沒了；
- fij的總求和一定不能超過wqj的總和，也即是Q的土的容量的總量，也就是說，你搬多了沒地方放。
寫成高大上的數學公式如下：
s.t.
三、EMD的理解
從上面的描述可以看出，EMD並不是一個簡單的加加減減，求個直方圖的距離。它其實是個線性規劃問題，求解的結果纔是EMD距離，它可以更好的描述直方圖的距離。
本人將在下一篇文章中描述距離的比較分析，就可以更好的理解爲什麼EMD距離很好，而簡單的直方圖做差或者直方圖交等方法並不好了。