信號均勻量化和誤差

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    將模擬聲頻信號經過採樣以後變成在時間上離散的脈衝序列信號,每一個脈衝幅度的大小都等於採樣瞬間的模擬信號的幅度值,用來描述這個量所需要的位數,理論上來說應該是無限大的。也就是說,這時的採樣脈衝序列(PAM)在幅值上仍然是連續的模擬信號。

    模擬信號數字化過程中的量化,實際上就是將採樣後得到的PAM脈衝序列以一定的單位進行度量,並以整數倍的數值來標識的過程。換句話說,就是將信號的連續幅度分成有限個離散的層次。

    均勻量化,就是一種將信號連續幅度均勻分層的量化方法。

    在下圖中,設定某個聲音信號電壓在0~7V範圍內變化,如果每隔TS進行採樣,可得到圖(a)中9個精確的採樣值:1.3V、4.4V、7.0V、6.45V、4.3V、3.6V、5.2V、3.7V、1.52V。當選取單位電壓是1V時,則有9個單位量化電壓,於是以上精確採樣的值通過四捨五入的方式近似得到某一個單位量化電壓,9個量化值:1、4、7、6、4、4、5、4、2。再與單位量化電壓1V相乘,轉換會採樣時刻的電壓值時,就成了1V、4V、7V、6V、4V、4V、5V、4V、2V。明顯量化值與原始值之間有了差別,也就是說量化過程必然要產生誤差,這就是量化噪聲


    不過,如果增大一個量化階數把,單位量化電壓(量化級)由1V改成0.5V,得到的9個量化值就變成3、9、14、13、9、7、10、7、3,當這9個量化值與單位量化電壓0.5相乘,就轉換回採樣時刻的電壓值,成爲1.5V、4.5V、6.5V、4.5V、3.5V、5V、3.5V、1.5V。這9個值相比1V作爲單位量化電壓時,誤差小了很多。由此看來,量化級越小,量化階數越多,則量化誤差越小。在量化階數相同時,採樣頻率越高則量化噪聲越小。實際量化當中所選取的量化階數比較多,例如採用16bit均勻量化時,信號的峯值將被分成65535份。

    一般的

    假設模擬信號的最大信號電壓與最小信號電壓的差值爲V,量化間隔數爲L,分層電平數爲L+1,量化級爲,則均勻量化時       V = L * ∆

輸入信號每變化∆時,量化值就變化1級。量化間隔數越多,量化後的階梯信號與原信號的差別就越小,量化噪聲就越小。

     下圖描述的是均勻量化的輸入-輸出特性曲線。從圖中可以看出,當輸入電壓V(t)在量化值0、±±2∆、±3∆……範圍內時,量化後的輸Vq(t)就是0、±±2∆、±3∆……其間隔相等。如果量化間隔數L爲無限大,則量化級∆就會在數軸上顯得非常渺小,此時有V(t) = Vq(t),轉換特性爲一條斜率等於1的直線,也就等於沒有量化的了。然而,∆必然爲一有限值,量化誤差也一定會存在。 

    下面討論在均勻量化時,量化信噪比與編碼比特數的關係。

    量化信號e(t)被定義爲量化後的階梯信號Vq(t)與輸入信號V(t)的差值,即e(t) = Vq(t)-V(t)。

    從下圖中可以看出,當輸入信號幅度等於任意量化層中心值時,誤差爲0,當輸入信號幅度等於任意量化層邊界值時,誤差最大,是±∆/2。所以,量化誤差值在-∆/2~+∆/2之間。對於幅度相同的信號,當分層數L增多時,∆變小,最大量化誤差會隨之減小。

    

    量化信噪比(SNR)是信號功率與量化噪聲功率之比。可以證明,一個最高頻率 fH的信號,根據採樣定理在採樣頻率大於或等於2fH 時,誤差信號E(t)的均方值等於採樣誤差的e(t)均方值。

    由量化誤差示意圖可知e(t)隨着V(t)在(-∆/2,+∆/2)之間變化,假設它在此區間內均勻分佈,則e(t)的概率分佈密度爲f(e) =  1 / (∆/2+∆/2) = 1/∆。

    上式說明量化噪聲功率與量化級平方成正比,即量化噪聲功率與信號統計特性無關,只與量化間隔有關。

    以輸入爲正弦波爲例,討論量化後的信噪比。

    在量化分層數很多時,可以認爲量化器輸出信號功率Sq 近似等於輸入信號功率S。設輸入正弦信號的幅度範圍是-V~+V,V爲最大幅度,則被均勻量化的量化間隔數L爲 L = 2V/∆。  是信號的有效值等於V2/2。量化信號功率與量化噪聲之比R爲 R = Sq /N≈ S/N = (V2/2)/(2/12) = 3/2L2

    當量化間隔數L用n爲二進制碼來表時L = 2n,量化信噪比的分貝值爲RSN = 10lg(3/2)22n = 10lg(3/2) + 20nlg2 ≈ 1.76 + 6n(dB)。


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