信号均匀量化和误差

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    将模拟声频信号经过采样以后变成在时间上离散的脉冲序列信号，每一个脉冲幅度的大小都等于采样瞬间的模拟信号的幅度值，用来描述这个量所需要的位数，理论上来说应该是无限大的。也就是说，这时的采样脉冲序列（PAM）在幅值上仍然是连续的模拟信号。

    模拟信号数字化过程中的量化，实际上就是将采样后得到的PAM脉冲序列以一定的单位进行度量，并以整数倍的数值来标识的过程。换句话说，就是将信号的连续幅度分成有限个离散的层次。

    均匀量化，就是一种将信号连续幅度均匀分层的量化方法。

    在下图中，设定某个声音信号电压在0~7V范围内变化，如果每隔T_S进行采样，可得到图(a)中9个精确的采样值：1.3V、4.4V、7.0V、6.45V、4.3V、3.6V、5.2V、3.7V、1.52V。当选取单位电压是1V时，则有9个单位量化电压，于是以上精确采样的值通过四舍五入的方式近似得到某一个单位量化电压，9个量化值：1、4、7、6、4、4、5、4、2。再与单位量化电压1V相乘，转换会采样时刻的电压值时，就成了1V、4V、7V、6V、4V、4V、5V、4V、2V。明显量化值与原始值之间有了差别，也就是说量化过程必然要产生误差，这就是量化噪声。

    不过，如果增大一个量化阶数把，单位量化电压（量化级）由1V改成0.5V，得到的9个量化值就变成3、9、14、13、9、7、10、7、3，当这9个量化值与单位量化电压0.5相乘，就转换回采样时刻的电压值，成为1.5V、4.5V、6.5V、4.5V、3.5V、5V、3.5V、1.5V。这9个值相比1V作为单位量化电压时，误差小了很多。由此看来，量化级越小，量化阶数越多，则量化误差越小。在量化阶数相同时，采样频率越高则量化噪声越小。实际量化当中所选取的量化阶数比较多，例如采用16bit均匀量化时，信号的峰值将被分成65535份。

    一般的

    假设模拟信号的最大信号电压与最小信号电压的差值为V，量化间隔数为L，分层电平数为L+1，量化级为，则均匀量化时       V = L * ∆

输入信号每变化∆时，量化值就变化1级。量化间隔数越多，量化后的阶梯信号与原信号的差别就越小，量化噪声就越小。

     下图描述的是均匀量化的输入-输出特性曲线。从图中可以看出，当输入电压V(t)在量化值0、±∆、±2∆、±3∆……范围内时，量化后的输V_q(t)就是0、±∆、±2∆、±3∆……其间隔相等。如果量化间隔数L为无限大，则量化级∆就会在数轴上显得非常渺小，此时有V(t) = V_q(t)，转换特性为一条斜率等于1的直线，也就等于没有量化的了。然而，∆必然为一有限值，量化误差也一定会存在。 

    下面讨论在均匀量化时，量化信噪比与编码比特数的关系。

    量化信号e(t)被定义为量化后的阶梯信号V_q(t)与输入信号V(t)的差值，即e(t) = V_q(t)-V(t)。

    从下图中可以看出，当输入信号幅度等于任意量化层中心值时，误差为0，当输入信号幅度等于任意量化层边界值时，误差最大，是±∆/2。所以，量化误差值在-∆/2~+∆/2之间。对于幅度相同的信号，当分层数L增多时，∆变小，最大量化误差会随之减小。

    

    量化信噪比（SNR）是信号功率与量化噪声功率之比。可以证明，一个最高频率 f_H的信号，根据采样定理在采样频率大于或等于2f_H 时，误差信号E(t)的均方值等于采样误差的e(t)均方值。

    由量化误差示意图可知e(t)随着V(t)在（-∆/2，+∆/2）之间变化,假设它在此区间内均匀分布，则e(t)的概率分布密度为f(e) =  1 / (∆/2+∆/2) = 1/∆。

    上式说明量化噪声功率与量化级平方成正比，即量化噪声功率与信号统计特性无关，只与量化间隔有关。

    以输入为正弦波为例，讨论量化后的信噪比。

    在量化分层数很多时，可以认为量化器输出信号功率S_q 近似等于输入信号功率S。设输入正弦信号的幅度范围是-V~+V，V为最大幅度，则被均匀量化的量化间隔数L为 L = 2V/∆。 ， 是信号的有效值等于V²/2。量化信号功率与量化噪声之比R为 R = S_q /N_q ≈ S/N = （V²/2）/（∆²/12） = 3/2L²

    当量化间隔数L用n为二进制码来表时L = 2ⁿ，量化信噪比的分贝值为R_SN = 10lg(3/2)2²ⁿ = 10lg(3/2) + 20nlg2 ≈ 1.76 + 6n(dB)。