數字信號處理中：各種頻率、帶通採樣、抽取和插值

一、模擬頻率和數字頻率間關係

以MATLAB參考代碼爲例：

% test with Matlab 2007
close all; clear;
fig_fname = 'sine_1_tone.jpg';
fs  = 8E3;  % 採樣率
N   = 32;   % 向量長度
% 信號頻率、幅度、初相位
f1  = 1000; Amp1 = 1; phy1 = 0;
f2  = 7000; Amp2 = 1; phy2 = 0;
% 原信號
x1 = Amp1*sin(2*pi*f1*t + phy1);
x2 = Amp2*sin(2*pi*f2*t + phy2);
% 信號向量的下標索引
n_idx = [0:N-1];
% 生成信號採樣序列向量
x1 = Amp1*sin(2*pi*f1/fs*n_idx + phy1);
x2 = Amp2*sin(2*pi*f2/fs*n_idx + phy2);

可以看到 f1、f2 爲信號原模擬頻率。
f 的物理含義：在週期T內上下振動的次數，
模擬頻率中還有一個概念是模擬角頻率，數學符號常用Ω來表示，其單位爲弧度/秒(rad/s)。

            Ω=2pi*f(rad/s)
            T=2pi / Ω,,, f=1 / T

數字頻率w：單位是rad。學習數字信號處理的要明白，數字頻率實際上是和採樣週期Ts聯繫在一起的，離開採樣週期Ts或者採樣頻率Fs = 1/Ts單獨談數字頻率w是沒有實際價值的，因爲此時它沒有任何物理意義，
數字頻率w是從單位圓上的N點等間隔採樣而來的，這個N不是別的就是數字週期，先給出數字頻率w和數字週期N之間的關係：N=(2*pi/w)*k當信號是以N爲週期的時候，要求(2*pi/w)是個有理數，w=2*pi*k/N，可見w的物理含義是相鄰的兩個採樣點之間的弧度，w = ΩT = Ω/Fs 是用Fs歸一化後的頻率。
數字週期N，N有兩種含義：

①f(n) = f(n+N)
② 週期信號 f(n)的一個週期內有0~N-1共N個採樣點。 cos(2pi*f*t) = cos(Ω *t) = cos(Ω*n*Ts) = cos(Ω*Ts*n) = cos(w*n)

數字信號大多是從模擬信號採樣而得，採樣頻率通常用fs表示。fs必須≥信號最高頻率的2倍纔不會發生信號混疊，因此fs能採樣到的信號最高頻率爲fs/2。數字頻率更準確的叫法應該是歸一化數字角頻率，其單位爲弧度(rad)，數學符號常用ω表示。即：

             ω=2pi*f/fs(rad)

其物理意義是相鄰兩個採樣點之間所變化的弧度數，

歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之後的結果，最高的信號頻率爲fs/2對應歸一化頻率0.5，這也就是爲什麼在matlab的fdtool工具中歸一化頻率爲什麼最大隻到0.5的原因。

f = w*Fs/(2*pi); % 信號的真實頻率f

頻率（f）	對應關係
歸一化頻率：	-1 ———- -1/2 ———- 0 ———- 1/2 ———– 1
頻率f：	-Fs ——— -Fs/2 ——– 0 ———- Fs/2 ———Fs
模擬角頻率Ω：	-Ωs ——— -Ωs/2 —— 0 ———– Ωs/2 ——– Ωs
數值頻率w：	-2pi ——— -pi ——— 0 ———- pi ————- 2pi