樹狀數組 推廣

大家都知道普通的樹狀數組的實現，
大致是這樣的：

節點k，統計的葉子範圍爲：[k−lowbit(k)+1,k]
而每一個節點都只記錄左兒子的信息,
我們能夠查詢的也就只是[1,n] 的信息。
通常使用樹狀數組維護前綴和，但有時也能用來做一些看似只有線段樹才能實現的功能。

區間更新

我們用前綴和維護每個位置的增加的值。
記S[i] 表示[i,n] 位置上的數都增加S[i] 的值。
那麼如果對[l,r] 增加d,就S[l]+d,S[r+1]−d 。
求和的話，設原數組爲A ，那麼對[l,r] 求和，
答案就是:

Ans=∑i=lr(A[i]+(r−i+1)∗S[i])=∑i=lrA[i]+∑i=lr(r∗S[i]−i∗S[i]+S[i])=∑i=lrA[i]+(r+1)∑i=lrS[i]−∑i=lri∗S[i]

而現在上面的∑ri=lA[i],∑ri=lS[i],∑ri=li∗S[i]都可以維護。
後面兩個由於都只有單點的修改，即可使用樹狀數組。(i∗S[i] 將要增加的值乘以i就行了)
下面再給出兩個公式:
i節點的左兒子編號爲:i−lowbit(i)2
i節點的右兒子編號爲:i+lowbit(i)2
有了這兩個公式,能夠很方便地得到一個節點地左右兒子，
便可以類似線段樹地方式實現很多功能。
未完待續。。。