NOIP2013 貨車運輸

題目描述：

A 國有 n 座城市，編號從 1 到 n，城市之間有 m 條雙向道路。每一條道路對車輛都有重量限制，簡稱限重。現在有 q 輛貨車在運輸貨物，司機們想知道每輛車在不超過車輛限重的情況下，最多能運多重的貨物。

輸入：

第一行有兩個用一個空格隔開的整數 n，m，表示 A 國有 n 座城市和 m 條道路。
接下來 m 行每行 3 個整數 x、y、z，每兩個整數之間用一個空格隔開，表示從 x 號城市到 y 號城市有一條限重爲 z 的道路。注意：x 不等於 y，兩座城市之間可能有多條道路。
接下來一行有一個整數 q，表示有 q 輛貨車需要運貨。
接下來 q 行，每行兩個整數 x、y，之間用一個空格隔開，表示一輛貨車需要從 x 城市運輸貨物到 y 城市，注意：x 不等於 y。

輸出：

輸出共有 q 行，每行一個整數，表示對於每一輛貨車，它的最大載重是多少。如果貨車不能到達目的地，輸出-1。

數據範圍：

對於 30%的數據，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000；
對於 60%的數據，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000；
對於 100%的數據，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

樣例輸入：

4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3

樣例輸出：

3

-1

3

分析：

從題目中給出的描述來看，很容易就能知道這是一個圖論題，然而這個數據範圍暴力在一秒鐘之內是一定跑不出來的。

各個城市之間可能有多條道路，並且走過城市的數目增加並不會直接導致收益降低，爲了保證我們能夠運送的貨物最多，我們可以對原圖求一個最大生成樹，保證城市兩兩之間的最小道路承重能力最大。

既然我們建立了一顆樹，就可以使用求最近公共祖先的算法(LCA)來達到我們的目的了。

code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000
#define MAXM 50000
#define INF 1e9
#define S 17
using namespace std;
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
struct E{
	int u,v,w;
	bool operator <(const E t)const{return w>t.w;}
}e[MAXM+5];
struct node{
	int to,next,wei;
}adj[2*MAXM+5];
int n,m,q;
int f[MAXN+5];
int head[MAXN+5],ecnt;
int fa[MAXN+5][S+5],d[MAXN+5][S+5],depth[MAXN+5];
bool vis[MAXN+5];
inline int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
void init()
{
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i;
}
void add(int u,int v,int w)
{
	adj[++ecnt].to=v;
	adj[ecnt].wei=w;
	adj[ecnt].next=head[u];
	head[u]=ecnt;
	adj[++ecnt].to=u;
	adj[ecnt].wei=w;
	adj[ecnt].next=head[v];
	head[v]=ecnt;
}
void kruskal()
{
	int i,tot=0;
	for(i=1;i<=m&&tot<n-1;i++)
	{
		int u=find(e[i].u),v=find(e[i].v),w=e[i].w;
		if(u==v)
			continue;
		add(e[i].u,e[i].v,w);
		f[v]=u;
		++tot;
	}
}
void dfs(int u)
{
	int i;
	vis[u]=true;
	for(i=1;i<S;i++)
	{
		if(depth[u]<(1<<i))
			break;
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
		d[u][i]=min(d[u][i-1],d[fa[u][i-1]][i-1]);
	}
	for(i=head[u];i;i=adj[i].next)
	{
		int v=adj[i].to,w=adj[i].wei;
		if(!vis[v])
		{
			fa[v][0]=u;
			d[v][0]=w;
			depth[v]=depth[u]+1;
			dfs(v);
		}
	}
}
int lca(int u,int v)
{
	if(depth[u]<depth[v])
		swap(u,v);
	int i,t=depth[u]-depth[v];
	for(i=0;i<S;i++)
		if((1<<i)&t)
			u=fa[u][i];
	for(i=S-1;i>=0;i--)
		if(fa[u][i]!=fa[v][i])
		{
			u=fa[u][i];
			v=fa[v][i];
		}
	if(u==v)
		return u;
	return fa[u][0];
}
int query(int u,int f)
{
	int i,t=depth[u]-depth[f],res=INF;
	for(i=0;i<S;i++)
		if((1<<i)&t)
		{
			res=min(res,d[u][i]);
			u=fa[u][i];
		}
	return res;
}
int main()
{
	int i,u,v;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
	init();
	sort(e+1,e+m+1);
	kruskal();
	dfs(1);
	scanf("%d",&q);
	for(i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		if(find(u)!=find(v))
			printf("-1\n");
		else
		{
			int f=lca(u,v);
			printf("%d\n",min(query(u,f),query(v,f)));
		}
	}
}