基於 Python 的時序模型——AMIRA模型

時間序列分析的目的：給定一個已被觀測了的時間序列，預測該序列的未來值

ARIMA 模型：如果一個時間序列經差分運算後具有平穩性，則該序列爲差分平穩序列，可以使用 ARIMA 模型進行分析。

時間序列的預處理：

1.        平穩性檢驗：

                    時序圖檢驗：平穩序列的時序圖顯示該序列值始終在一個常數附近隨機波動，而且波動範圍有界;

                                            非平穩序列有明顯的趨勢性或週期性。

                   自相關圖檢驗：平穩序列具有短期相關性，即只有近期的序列值對現時值的影響比較明顯，間隔越遠的過去值對現時值影響越小。隨着延遲期數k的增加，平穩序列的自相關係數會比較快的衰減趨向於0, 並在0附近隨機波動

                                               非平穩序列的自相關係數衰減的速度比較慢。

                    單位根檢驗：存在單位根就是非平穩序列。

1.       純隨機性檢驗（白噪聲檢驗）：由樣本各延遲期數的自相關係數可以計算得到檢驗統計量，然後計算出對應的 p 值。如果 p 值顯著大於顯著性水平，則爲白噪聲序列，可以停止分析。

 

預處理完成後可以根據處理結果將序列分爲不同類型，不同的序列採取不同的分析方法：

1. 純隨機序列（白噪聲序列）：各項之間沒有任何相關關係，序列在進行完全無徐的隨機波動，是沒有信息可提取的平穩序列。此時可以終止對該序列的分析。
2. 平穩非白噪聲序列：其均值和方差是常數。常用的擬合模型是 ARMA 模型。
3. 非平穩序列：均值和方差不穩定，一般將其轉變爲平穩序列。如果一個時間序列經差分運算後具有平穩性，則該序列爲差分平穩序列，可以使用 ARIMA 模型進行分析。

 

模型識別原則：

模型	自相關係數 ACF	偏自相關係數 PACF
AR（p）	拖尾	p 階截尾
MA（q）	q 階截尾	拖尾
AEMA（p,q）	p 階截尾	q 階截尾

 

差分運算：

• p 階差分：相距一期的兩個序列值之間的減法運算稱爲1階差分運算。
• k 步差分：相距k期的兩個序列值之間的減法運算稱爲k步差分運算。

差分運算具有強大的確定性信息提取能力，許多非平穩序列差分後會顯示出平穩序列的性質，這時稱這個非平穩序列爲差分平穩序列。

對差分平穩序列可以使用ARMA模型進行擬合。ARIMA 模型的實質就是差分運算與ARMA模型的組合。

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差分平穩時間序列建模步驟：

獲得觀察值序列——>平穩性檢驗——（Y）——>白噪聲檢驗——（Y）——>分析結束

                                      平穩性檢驗——（N）——>差分運算——>平穩性檢驗------->白噪聲檢驗——（N）——>擬合 ARMA 模型——>白噪聲檢驗------->分析結束

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得到平穩非白噪聲序列後建模步驟：

平穩非白噪聲序列——>計算 ACF、PACF——>ARMA模型識別——>估計模型中未知參數的值——>模型檢驗——（Y）——>模型優化——（Y）——>預測將來走勢

                                                                                                                                                                   -----模型檢驗——（N）——>ARMA模型識別——>估計模型中未知參數的值——>模型檢驗——（Y）——>模型優化——（N）——>ARMA模型識別------

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實例：

根據時序圖、自相關圖、單位根檢驗，判斷平穩性：

import pandas as pd

discfile='../data/arima_data.xls'
forecastnum=5

#讀取數據，指定日期列爲指標，pandas自動將日期識別爲 Datatime 格式
data=pd.read_excel(discfile,index_col=u'日期')

#時序圖
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
data.plot()
data.show()

#自相關圖
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(data).show()

#平穩性檢測——單位根檢驗
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
print(u'原始序列的 ADF 檢驗結果爲：'，ADF(data[u'銷量']))
#返回值依此是：adf、pvalue、usedlag、nobs、critical、values、icbest、regresults、resstore

對非平穩序列進行差分運算：

#差分後的結果
D_data=data.diff().dropna()
D_data.columns=[u'銷量差分']

#差分後再次檢驗
#時序圖
D_data.plot()  
plt.show()

#自相關圖
plot_acf(D_data).show() 

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
#偏自相關圖
plot_pacf(D_data).show()
#單位根檢驗
print(u'差分序列的 ADF 檢驗結果爲：'，ADF(D_data[u'銷量差分'])) 

對平穩序列進行白噪聲檢驗：

#白噪聲檢驗
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
print(u'差分序列的白噪聲檢驗結果爲：',acorr_ljungbox(D_data,lags=1))  #返回統計量和 p 值

ARIMA 模型擬合：

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
data[u'銷量']=data[u'銷量'].astype(float)

#定階
pmax = int(len(D_data)/10)  #一般階數不超過 Length/10
qmax = int(len(D_data)/10)  #一般階數不超過 Length/10
bic_matrix=[]  #bic 矩陣
for p in range(pmax+1):
  tmp=[]
  for q in range(qmax+1):
     try:  #存在部分報錯，用 try來跳過報錯
        tmp.append(ARIMA(data,(p,1,q)).fit().bic)
     except:
        tmp.append(None)
  bix_matrix.append(tmp)

bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix)  #從中可以找出最小值
#先用 stack 展平，然後用 idxmin 找出最小值位置
p,q=bic_matrix.stack().idxmin()
print(u'BIC 最小的 p 值和 q 值爲：%s、%s'%(p,q))

#建立 ARIMA（0,1,1）模型
model=ARIMA(data,(p,1,q)).fit()

#給出一份模型報告
model.summary2()

#做爲期 5 天的預測，返回預測結果、標準誤差、置信區間
model.forecast(5)