16. 排序--简单排序

排序

方法模板

void X_Sort(ElementType[] A, int N)

• 大多数情况下，为简单起见，讨论从小到大的整数排序
• N是正整数，表示数组的长度

前提

• 只讨论基于比较的排序（例如通过 > = < 进行比较）
• 只讨论内部排序（所有数据加载入内存中）
• 稳定性：任意两个相等的数据，排序前后的相对位置不发生改变
• 没有一种排序是任何情况下都表现最好的

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简单排序

冒泡排序

算法原理

从后往前开始遍历：

1. 比较相邻的两个元素，如果第二个元素比第一个元素小，则进行交换
2. 从开始一对到最后一对，对每一对相邻元素做2的工作。这步操作完成后，最后的元素应该是最大的元素
3. 重复以上步骤，直到倒数第一个元素（最后一个元素不参与上述循环）
4. 持续每次对越来越少的元素重复以上的步骤，直到没有任何一对元素需要比较

实现

void Bubble_Sort(ElementType[] A, int N) {
    for (P = N - 1; P >= 0; P--) {
        flag = 0;           // 用于标识这趟冒泡过程是否进行了元素的交换
        for (i = 0; i < P; i++) {   // 一趟冒泡过程
            if (A[i] > A[i + 1])  {
                Swap(A[i], A[i + 1]);
                flag = 1;   // 标识元素进行了交换
            }
        }

        if (flag == 0)  // 全程无交换，说明数组已经有序了，不需要再进行排序了
            break;
    }
}

• 时间复杂度：
  
  • 最好情况：已经顺序排好，T=O(N)
  • 最坏情况：逆序排好，T=O(N2)
• 稳定性：基于A[i] > A[i + 1]的判断方式，该冒泡排序是稳定的
• 冒泡排序可以处理单向链表的排序

插入排序

算法原理

从第二个元素遍历到最后一个元素：
1. 记录当前元素为temp
2. 从当前位置向前遍历，如果前一个元素大于temp，则把下个元素后移，直到前一个个元素小于或等于temp
3. 把temp置于空出来的位置

实现

void Insertion_Sort(ElementType[] A, int N) {
    for (P = 1; P < N; P++) {
        temp = A[P];    // 记录要比较的元素
        for (i = P; i > 0 && A[i - 1] > temp; i--)
            A[i] = A[i - 1];    // 向后移动元素，空出空位

        A[i] = temp;    // 元素置于空位
    }
}

• 时间复杂度：
  
  • 最好情况：已经顺序排好，T=O(N)
  • 最坏情况：逆序排好，T=O(N2)
• 稳定性：基于A[i - 1] > temp的判断方式，该插入排序是稳定的

时间复杂度下界

逆序对

对于下标i<j ，如果A[i] > A[j]，则称<i,j> 是一对逆序对（inversion）

• 定理：任意N 个不同元素组成的序列平均具有N(N−1)/4 个逆序对

逆序对与排序

对于冒泡、插入排序：

• 交换2个相邻元素正好消去1个逆序对
• 有n 个逆序对，则需要交换n 次元素
• 插入排序：T(N,I)=O(N+I) ，N 是元素的个数，I 是逆序对的个数
  
  • 如果序列基本有序，则插入排序简单且高效

对于排序：

• 定理：任何仅以交换相邻两元素来排序的算法，其平均时间复杂度为Ω(N2)
• 如果要提高算法效率，必须
  
  • 每次消去不止1个逆序对
  • 每次交换相隔较远的2个元素