13. 图--最短路径问题

最短路径问题

问题抽象

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径

• 这条路径就是两点之间的最短路径（Shortest Path）
• 第一个顶点为源点（Source）
• 最后一个顶点为终点（Destination）

问题分类

• 单源最短路径问题：从某固定源出发，求其到所有其他顶点的最短路径
  
  • （有向）无权图
  • （有向）有权图
• 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径

单源最短路算法

无权图

按照路径长度递增（非递减）的顺序找出到各个顶点的最短路（遍历方式跟BFS类似）

实现

• dist[W] : 源点S 到顶点W 的最短距离
  
  • dist[S]：源点S 到源点S 的距离初始化为0
  • 其他的dist[W]可以被初始化为正无穷、负无穷以及-1（算法中采用初始化为-1）
• path[W]：源点S 到顶点W 的路上经过的某顶点
  
  • 获取源点S 到顶点W 的路径：从W 开始去反向遍历到S 即可获取到反向的路径，再由栈进行正向的处理即可

void Unweighted(Vertex S) {
    Enqueue(S, Q);

    while (!IsEmpty(Q)) {
        V = Dequeue(Q);

        for (V 的每个邻接点 W) {
            if (dist[W] == -1) { // 说明还没有访问过
                dist[W] = dist[V] + 1;  // 为上一个顶点的距离+1
                path[W] = V;        // 记录为上一个顶点
                Enqueue(W, Q);
            }
        }
    }
}

若有N个顶点、E条边，时间复杂度是

• 用邻接表存储图，为O(N+E)
• 用邻接矩阵存储图，为O(N2)

有权图

按照路径长度递增（非递减）的顺序找出到各个顶点的最短

Dijkstra 算法用于解决有权图的单源最短路问题。但是不能解决有负边的情况

Dijkstra 算法

• 令S={ 源点s +  已经确定了最短路径的顶点vi}
• 对任一为收录的顶点v ，定义dist[v]为源点s 到v 的最短路径长度，但该路径仅经过集合S 中的顶点。即路径{s→(vi∈S)→v} 的最小长度
• 若路径是按照递增（非递减）的顺序生成的，则
  
  • 真正的最短路必须只经过集合S 中的顶点
  • 每次从未收录的顶点中选一个dist最小的收录（贪心）
  • 增加一个v 进入集合S ，可能影响另外一个邻接点w 的dist值
    
    • 如果收录v 使得源点s 到w 的路径变短，那么s 到w 的路径一定经过v ，且v 到w 有一条边
    • dist[w]=min{dist[w],dist[v]+<v,w> 的权重}

实现

• collected[v]：记录顶点v 是否被收录
• dist[W] : 源点s 到顶点w 的最短距离
  
  • dist[S]：源点s 到源点s 的距离初始化为0
  • 其他的dist[W]这里被初始化为正无穷
• path[W]：源点s 到顶点w 的路上经过的某顶点
  
  • 获取源点s 到顶点w 的路径：从w 开始去反向遍历到s 即可获取到反向的路径，再由栈进行正向的处理即可

void Dijkstra(Vertex s) {
    while (true) {
        V = 未收录顶点中dist最小者;
        if ( 这样的V不存在 )
            break;

        collected[V] = true;
        for ( V 的每个邻接点 W) {
            if(!collected[W] && dist[V] + E<V, W> < dist[W]) {
                dist[W] = dist[V] + E<V, W>;
                path[W] = V;
            }
        }
    }
}

若有N个顶点、E条边，根据寻找未收录顶点中dist最小者的方式来决定，时间复杂度是

• 方法1，更适用与稠密图
  
  • 直接扫描所有未收录顶点：O(N)
  • 最终的时间复杂度：T=O(N2+E)
• 方法2，更适用于稀疏图
  
  • 将dist存在最小堆中：O(logN)
  • 更新dist[w]的值：O(logN)
  • 最终的时间复杂度：T=O(NlogN+ElogN)=O(ElogN)

多源最短路算法

若有N个顶点、E条边：
* 方法1：直接将单源最短路算法调用N 遍，时间复杂度为T=O(N3+NE) ，适合稀疏图
* 方法2：Floyd算法，时间复杂度为O(N3) ，适合稠密图

Floyd算法

• Dk[i][j]= 路径{i→{l≤k}→j} 的最小长度
• D0,D1,...,DV−1[i][j] 即给出了i 到j 的真正最短距离
• D−1 被初始化为带权邻接矩阵，对角元为0，顶点之间没有直接的边相连则值初始化为正无穷大
• 当Dk−1 已经完成，递推到Dk 时：
  
  • 如果k∉ 最短路径{i→{l≤k}→j} ，则Dk=Dk−1
  • 如果k∈ 最短路径{i→{l≤k}→j} ，则该路径必定由两段最短路径组成：Dk[i][j]=Dk−1[i][k]+Dk−1[k][j]

实现

void Floyd() {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++)
        for (j = 0; j < N; j++) {
            D[i][j] = G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }

    for (k = 0; k < N; k++) 
        for (i = 0; i < N; i++)
            for (j = 0; j < N; j++) 
                if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    path[i][j] = k;
                }

}

如果需要求出最短路径经过哪些点，通过path数组进行递归求解即可