【UOJ347】【WC2018】通道 邊分治 虛樹 DP

題目大意

　　給你三棵樹，點數都是n$n$ 。求

maxi,jd1(i,j)+d2(i,j)+d3(i,j)$$\underset{i,j}{max}{d}_1(i,j)+d_2(i,j)+d_3(i,j)$$

　　其中dk(i,j)$d_k(i,j)$ 是在第k$k$ 棵數中i,j$i,j$ 兩點之間的距離。

　　n≤100000$n\le 100000$

題解

　　設d(i,j)=d1(i,j)+d2(i,j)+d3(i,j),hk(i)$d(i,j)=d_1(i,j)+d_2(i,j)+d_3(i,j),h_k(i)$ 爲i$i$ 號點在第k$k$ 棵樹上的深度

一棵樹

　　樹形DP。

　　時間複雜度：O(n)$O(n)$

兩棵樹

　　這是一道集訓隊自選題。

　　點分治+動態點分治

　　設這兩個點在第一棵樹中的祖先是p$p$ ，那麼d(i,j)=h1(i)+h1(j)−2h1(p)+d2(i,j)$d(i,j)=h_1(i)+h_1(j)-2h_1(p)+d_2(i,j)$

　　在第二棵樹中，對於每個點i$i$ ，建立一個新點i′$i^{\prime }$ ，在i$i$ 和i′$i^{\prime }$ 之間連一條邊權爲h1(i)$h_1(i)$ 的邊。

　　這樣d(i,j)=d2(i,j)−2h1(p)$d(i,j)=d_2(i,j)-2h_1(p)$

　　我們從下往上枚舉p$p$ ，每次查詢這棵子樹的點在第二棵樹中的直徑。

　　合併直徑可以直接合並兩個端點。

　　時間複雜度：O(nlogn)$O(n\log n)$

兩棵樹+一條鏈

　　考慮對鏈分治。

　　每次只求經過當前鏈中間那個點（或者那條邊）的答案。

　　d(i,j)=h1(i)+h1(j)−2h1(p)+d2(i,j)+|li−lj|$d(i,j)=h_1(i)+h_1(j)-2h_1(p)+d_2(i,j)+|l_i-l_j|$

三棵樹

　　考慮對第三棵樹進行邊分治。

　　先把第三棵樹轉成二叉樹

　　然後直接邊分治就行了。

　　因爲每個點的度數≤3$\le 3$ ，所以邊分治的複雜度是對的。

　　求LCA可以用dfs序+ST表。

　　還要維護當前部分在第一棵樹的dfs序。

　　時間複雜度：O(nlogn)$O(n\log n)$

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
void sort(int &a,int &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
    int s=0,c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    do
    {
        s=s*10+c-'0';
    }
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    return s;
}
void put(int x)
{
    if(!x)
    {
        putchar('0');
        return;
    }
    static int c[20];
    int t=0;
    while(x)
    {
        c[++t]=x%10;
        x/=10;
    }
    while(t)
        putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
    if(b<a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
    if(b>a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int n;
vector<pil> g1[400010],g2[400010],g3[400010],g4[400010];
int lastson[400010];
int f1[400010];
int f2[400010];
int f3[400010];
ll d1[400010];
ll d2[400010];
ll d3[400010];
int dep1[400010];
ll w3[400010];
int st[400010];
int ed[400010];
int st1[400010];
int ed1[400010];
pli fs[21][400010];
pii fs1[21][200010];
int lo[400010];
int ti;
int ti1;
void dfs1(int x,int fa,ll dep,int dep2)
{
    f1[x]=fa;
    d1[x]=dep;
    dep1[x]=dep2;
    fs1[0][++ti1]=pii(dep2,x);
    st1[x]=ti1;
    for(auto v:g1[x])
        if(v.first!=fa)
        {
            dfs1(v.first,x,dep+v.second,dep2+1);
            fs1[0][++ti1]=pii(dep2,x);
        }
    ed1[x]=ti1;
}
void dfs2(int x,int fa,ll dep)
{
    f2[x]=fa;
    d2[x]=dep;
    fs[0][++ti]=pli(dep,x);
    st[x]=ti;
    for(auto v:g2[x])
        if(v.first!=fa)
        {
            dfs2(v.first,x,dep+v.second);
            fs[0][++ti]=pli(dep,x);
        }
    ed[x]=ti;
}
void dfs3(int x,int fa,ll dep)
{
    f3[x]=fa;
    d3[x]=dep;
    for(auto v:g3[x])
        if(v.first!=fa)
        {
            w3[v.first]=v.second;
            dfs3(v.first,x,dep+v.second);
        }
}
void buildst()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=20;i++)
        for(j=1;j+(1<<i)-1<=ti;j++)
            fs[i][j]=min(fs[i-1][j],fs[i-1][j+(1<<(i-1))]);
    for(i=1;i<=20;i++)
        for(j=1;j+(1<<i)-1<=ti1;j++)
            fs1[i][j]=min(fs1[i-1][j],fs1[i-1][j+(1<<(i-1))]);
    lo[1]=0;
    for(i=2;i<=ti;i++)
        lo[i]=lo[i>>1]+1;
}
int queryst1(int x,int y)
{
    int t=lo[y-x+1];
    return min(fs1[t][x],fs1[t][y-(1<<t)+1]).second;
}
int querylca1(int x,int y)
{
    if(st1[x]>st1[y])
        swap(x,y);
    return queryst1(st1[x],ed1[y]);
}
int queryst(int x,int y)
{
    int t=lo[y-x+1];
    return min(fs[t][x],fs[t][y-(1<<t)+1]).second;
}
int querylca(int x,int y)
{
    if(st[x]>st[y])
        swap(x,y);
    return queryst(st[x],ed[y]);
}
ll c[400010];
ll querydist(int x,int y,ll z=0)
{
    if(!x&&!y)
        return -1;
    if(!x||!y)
        return 0;
    return d2[x]+d2[y]-2*d2[querylca(x,y)]+c[x-n]+c[y-n]-2*z;
}
struct graph
{
    int v[400010];
    int t[400010];
    int b[400010];
    ll w[400010];
    int h[200010];
    int n;
    graph()
    {
        n=0;
    }
    void add(int x,int y,ll z)
    {
        n++;
        v[n]=y;
        w[n]=z;
        t[n]=h[x];
        h[x]=n;
    }
};
graph g;
void init()
{
    int i;
    int x,y;
    ll z;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
        g1[x].push_back(pil(y,z));
        g1[y].push_back(pil(x,z));
    }
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
        g2[x].push_back(pil(y,z));
        g2[y].push_back(pil(x,z));
    }
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
        g3[x].push_back(pil(y,z));
        g3[y].push_back(pil(x,z));
    }
    dfs1(1,0,0,0);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        g2[i].push_back(pil(i+n,d1[i]));
        g2[i+n].push_back(pil(i,d1[i]));
    }
    dfs2(1,0,0);
    buildst();
    dfs3(1,0,0);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        g.add(i,i+n,w3[i]);
        g.add(i+n,i,w3[i]);
        if(f3[i])
        {
            if(lastson[f3[i]])
            {
                g.add(i+n,lastson[f3[i]],0);
                g.add(lastson[f3[i]],i+n,0);
            }
            else
            {
                g.add(i+n,f3[i],0);
                g.add(f3[i],i+n,0);
            }
            lastson[f3[i]]=i+n;
        }
    }
}
int cmp1(int x,int y)
{
    return st1[x]<st1[y];
}
int b[400010];
ll ans=0;
struct pp
{
    int x,y;
    ll v;
    pp(int a=0,int b=0,ll c=-1)
    {
        x=a;
        y=b;
        v=c;
    }
};
int operator >(pp a,pp b){return a.v>b.v;}
int operator <(pp a,pp b){return a.v<b.v;}
typedef pair<pp,pp> ppp;
ppp f[400010];
int x1,x2,num,sz;
ll xv;
int s[400010];
int tag[400010];
void dfs11(int x,int fa)
{
    int i;
    s[x]=1;
    for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
        if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
        {
            dfs11(g.v[i],x);
            s[x]+=s[g.v[i]];
        }
}
void dfs12(int x,int fa)
{
    int i;
    for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
        if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
        {
            int mx=max(s[g.v[i]],num-s[g.v[i]]);
            if(mx<sz)
            {
                sz=mx;
                x1=x;
                x2=g.v[i];
                xv=g.w[i];
            }
            dfs12(g.v[i],x);
        }
}
int op(int x)
{
    return ((x-1)^1)+1;
}
void dfs13(int x,int fa,int b=1)
{
    tag[x]=b;
    int i;
    for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
        if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
        {
            int t=b;
            if(g.v[i]==x2)
            {
                t=2;
                g.b[i]=1;
                g.b[op(i)]=1;
            }
            dfs13(g.v[i],x,t);
        }
}
void dfs14(int x,int fa,ll dep)
{
    c[x]=dep;
    int i;
    for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
        if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
            dfs14(g.v[i],x,dep+g.w[i]);
}
int sta[400010];
int top;
void updateans(pp a,pp b,ll z)
{
    ans=max(ans,querydist(a.x,b.x,z));
    ans=max(ans,querydist(a.x,b.y,z));
    ans=max(ans,querydist(a.y,b.x,z));
    ans=max(ans,querydist(a.y,b.y,z));
}
pp getmax(pp a,pp b,ll z)
{
    return max(max(max(pp(a.x,a.y,querydist(a.x,a.y,z)),pp(a.x,b.x,querydist(a.x,b.x,z))),pp(a.x,b.y,querydist(a.x,b.y,z))),max(max(pp(b.x,b.y,querydist(b.x,b.y,z)),pp(a.y,b.x,querydist(a.y,b.x,z))),pp(a.y,b.y,querydist(a.y,b.y,z))));
}
void update(int x,int y)
{
    updateans(f[x].first,f[y].second,d1[y]);
    updateans(f[x].second,f[y].first,d1[y]);
    f[y].first=getmax(f[x].first,f[y].first,d1[y]);
    f[y].second=getmax(f[x].second,f[y].second,d1[y]);
}
void solve(int x,vector<int> &q)
{
    if(q.empty())
        return;
    dfs11(x,0);
    if(s[x]<=1)
        return;
    num=s[x];
    sz=0x7fffffff;
    dfs12(x,0);
    dfs13(x,0);
    dfs14(x1,0,0);
    dfs14(x2,0,xv);
    int last=0;
    top=0;
    int v1=q.front();
    int v2=q.back();
    int vlca=querylca1(v1,v2);
    if(vlca!=v1)
    {
        sta[++top]=vlca;
        f[vlca]=ppp();
    }
    for(auto v:q)
    {
        if(tag[v]==1)
            f[v]=ppp(pp(v+n,0,0),pp());
        else
            f[v]=ppp(pp(),pp(v+n,0,0));
        if(last)
        {
            int lca=querylca1(last,v);
            while(dep1[lca]<dep1[sta[top]])
            {
                if(dep1[lca]<=dep1[sta[top-1]])
                {
                    update(sta[top],sta[top-1]);
                    top--;
                }
                else
                {
                    f[lca]=ppp();
                    update(sta[top],lca);
                    top--;
                    sta[++top]=lca;
                }
            }
        }
        sta[++top]=v;
        last=v;
    }
    while(top>=2)
    {
        update(sta[top],sta[top-1]);
        top--;
    }
    vector<int> q1,q2;
    for(auto v:q)
        if(tag[v]==1)
            q1.push_back(v);
        else
            q2.push_back(v);
    v1=x1;
    v2=x2;
    solve(v1,q1);
    solve(v2,q2);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("uoj347.in","r",stdin);
    freopen("uoj347.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d",&n);
    init();
    vector<int> ss;
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        ss.push_back(i);
    sort(ss.begin(),ss.end(),cmp1);
    solve(1,ss);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}