杭電1145 so you want to be a 2n-aire?

杭電1145

          這道題的意思是給你一元錢，讓你連續回答n個問題，每回答對一個問題，錢數翻倍，回答錯了，就什麼也沒有了，已知你回答對沒到題的概率在t到1之間均勻分佈。求你能獲得的最大的錢數期望。
      剛看到這道題不明白什麼意思，到底求什麼期望，後來看了幾篇大牛的博客才懂，首先假設有n道題，你已經回答了i道題了，下面我們要確定的是回答第i+1道題是回答還是不回答，那麼該如何確定呢？
     你已經回答了i道題，那麼獲得的錢是2^i，我們假設回答問題所獲的期望存儲在數組d中，那麼回答對第i+1 道題的期望就是d[i+1]，我們假設一個比值ep，來確定要不要回答第i+1道題，如果d[i+1]*ep>2^i,回答後期望得到的錢比不回答的錢多，那麼肯定要回答。即當ep>2^i/d[i+1];肯定回答下一題。那麼我們就假定ep=2^i/d[i+1]爲臨界值。那麼我們就要確定ep與t的大小了。
                         很明顯，當t>=ep時，即回答對下一題的概率大於回答下一題的概率，那麼肯定回答下一題。這樣回答下一題的期望就是(1+t)/2*2*d[i+1](因爲t是均勻分佈，所以t的數學期望是（1+t）/2);
                        那麼當t<ep時，我們要不要回答這題呢，不知道，我們要判斷概率，回答這道的概率是(1-ep)/(1-t);那麼不回答這題的概率應該就是(ep-t)/(1-t);(根據所謂的全概率公式，雖然剛學概率論，居然不會用概率論公式，難怪這題卡那麼久)或許會疑惑爲什回答的概率是1和（1-ep）/（1-t）不一樣呢，實際上都是（1-max（t，ep））/（1-t）；只有概率大於ep是纔會回答
                      那麼我們該如和確定期望呢，不回答第i+1道題的話，錢肯定是2^i,回答的話可以獲得（1+ep）/2*d[i+1],因爲ep<p<1(p爲回答概率的可能值)。那麼我們就得到了t<ep時的公式（1-ep）/（1-t）*（1+ep）/2*d[i+1]+(ep-t)/(1-t)*2^i.
          那麼我們要求怎麼選擇回答問題能獲得的最大期望，很明顯根據公式我們要你推，首先我們知道回答n道題的期望是2^n,那麼我們逆推確定要不要回答第n道，如果不確定的話，我們在確定要不要回答第n-1道題的期望，和第n道的期望比較，我們根據後面的預判期望進行比較，判斷是否答題，所以最終得到最優判定在a[0]中，相當於從後往前進行答題
ac代碼

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
    double a[40];
int  n;
double p;
    while(cin>>n>>p)
    {
        if(n==0&&p==0)
        {
            break;
        }
        a[n]=1<<n;
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            double ep;
            ep=(1<<i)/(a[i+1]);
            if(ep<p)
            {
                a[i]=(1+p)/2*a[i+1];
            }
            else
            {
                a[i]=(ep-p)/(1-p)*(1<<i)+(1-ep)/(1-p)*(1+ep)/2*a[i+1];
            }
        }
    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(3)<<a[0]<<endl;;
    }
    return 0;
}

ps ep可以理解爲我們假定期望的能答對下一題的概率，與已知的概率進行比較，小於等於t就回答，大於就不確定。