FFT原理解釋

FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換
到頻域。有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如
果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多信號
分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜
提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。 
    雖然很多人都知道FFT是什麼，可以用來做什麼，怎麼去
做，但是卻不知道FFT之後的結果是什意思、如何決定要使用
多少點來做FFT。

    現在圈圈就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。
一個模擬信號，經過ADC採樣之後，就變成了數字信號。採樣
定理告訴我們，採樣頻率要大於信號頻率的兩倍，這些我就
不在此羅嗦了。

    採樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個採樣點，
經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。爲了方便進行FFT
運算，通常N取2的整數次方。

    假設採樣頻率爲Fs，信號頻率F，採樣點數爲N。那麼FFT
之後結果就是一個爲N點的複數。每一個點就對應着一個頻率
點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始
信號的幅度有什麼關係呢？假設原始信號的峯值爲A，那麼FFT
的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。
第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個
點（實際上這個點是不存在的，這裏是假設的第N+1個點，也
可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示
採樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率
依次增加。例如某點n所表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率爲爲Fs/N，如果
採樣頻率Fs爲1024Hz，採樣點數爲1024點，則可以分辨到1Hz。
1024Hz的採樣率採樣1024點，剛好是1秒，也就是說，採樣1秒
時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果採樣2秒時
間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率
分辨力，則必須增加採樣點數，也即採樣時間。頻率分辨率和
採樣時間是倒數關係。
  假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是
An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，
就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式爲：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即爲A1/N。
    由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，
即小於採樣頻率一半的結果。

    好了，說了半天，看着公式也暈，下面圈圈以一個實際的
信號來做說明。

    假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率爲50Hz、
相位爲-30度、幅度爲3V的交流信號，以及一個頻率爲75Hz、
相位爲90度、幅度爲1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

    式中cos參數爲弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。
我們以256Hz的採樣率對這個信號進行採樣，總共採樣256點。
按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個
點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號
有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、
第76個點上出現峯值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？
我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。



                      圖1 FFT結果
    從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有
比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值
都很小，可以認爲是0，即在那些頻率點上的信號幅度爲0。
接着，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，
結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
    按照公式，可以計算出直流分量爲：512/N=512/256=2；
50Hz信號的幅度爲：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的
幅度爲192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來
的幅度是正確的。
    然後再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管
它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
結果是弧度，換算爲角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達
式了，它就是我們開始提供的信號。

    總結：假設採樣頻率爲Fs，採樣點數爲N，做FFT之後，某
一點n（n從1開始）表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值
除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以
N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算
可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標爲(a,b)點的角
度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要採樣長度爲1/x秒
的信號，並做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加採樣點數，
這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成
分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是
採樣比較短時間的信號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度
達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
具體的頻率細分法可參考相關文獻。

[附錄：本測試數據使用的matlab程序]
close all; %先關閉所有圖片
Adc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %頻率F1信號的幅度
A2=1.5; %頻率F2信號的幅度
F1=50;  %信號1頻率(Hz)
F2=75;  %信號2頻率(Hz)
Fs=256; %採樣頻率(Hz)
P1=-30; %信號1相位(度)
P2=90;  %信號相位(度)
N=256;  %採樣點數
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採樣時刻

%信號
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%顯示原始信號
plot(S);
title('原始信號');

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT變換
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結果
title('FFT 模值');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %換算成實際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %顯示換算後的FFT模值結果
title('幅度-頻率曲線圖');

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %計算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算爲角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %顯示相位圖
title('相位-頻率曲線圖');

看完這個你就明白諧波分析了。