单源最短路径

问题描述：

给定一个带权有向图 G=(V,E) ，其中每条边的权是一个非负实数。另外，还给定 V 中的一个顶点，称为源。现在我们要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

解决方案：

Dijkstra提出按各顶点与源点v间的路径长度的递增次序，生成到各顶点的最短路径的算法。既先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。

解决思想：

将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v,T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。

　　具体步骤

　　1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径（确定数据结构：因为求的是最短路径，所以1.就要用一个记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。2.设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[],path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点）。

　　2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。

　　3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。调整方法是取dist[k]+g[k,j]<dist[j]与dist[j]的较小者。

　　4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。

Dijkstra算法实现：

public void Dijkstra(ref int[] distance, Node<T> n) { int v = 0; bool[] final = new bool[nodes.Length]; //初始化 for (int i = 0; i < nodes.Length; ++i) { final[i] = false; distance[i] = matrix[GetIndex(n), i]; } // n为源点 distance[GetIndex(n)] = 0; final[GetIndex(n)] = true; //处理从源点到其余顶点的最短路径 for (int i = 0; i < nodes.Length; ++i) { int min = int.MaxValue; //比较从源点到其余顶点的路径长度 for (int j = 0; j < nodes.Length; ++j) { //从源点到j顶点的最短路径还没有找到 if (!final[j]) { //从源点到j顶点的路径长度最小 if (distance[j] < min) { v = j; min = distance[j]; } } } //源点到顶点k的路径长度最小 final[v] = true; //更新当前最短路径及距离 for (int w = 0; w < nodes.Length; w++) if (final[w] == false) { if (matrix[v, w] != int.MaxValue && (min + matrix[v, w] < distance[w])) distance[w] = min + matrix[v, w]; } } }