Codeforces 988D 題解

<988D>

題意：

給定若干個數，問在其中挑選幾個數組成一個集合，使得集合中任意以兩個數a, b（a > b）的差值均爲2^n。

思路：

這題要先找規律，這個規律就是，集合中的元素最多有3個，證明如下：

假設集合內目前只有三個元素：x，y，z 且 x < y < z

則根據題意，有如下關係：

z - y = 2^a (1)

y - x = 2^b (2)

z - x = 2^c (3)

所以由 (1)式 + (2)式，再與 (3)式聯立，得 z - x = 2^a + 2^b = 2^c，由此可得，當且僅當

2^c = 2 * 2^b = 2 * 2^a 時上述等式成立，即 a = b = c - 1;

所以由 a = b, 得 2^a = 2^b，即 z - y = y - x，所以 x，y，z構成等差數列，

由上可知，當集合中有四個元素的時候，x < y < z < k 時，顯然就不成立了，因爲你要滿足從中挑出的任意三個元素滿足等差數列，比如 <x, y, k> 或 <x, z, k>時就不成立了，因爲x, y, z, k滿足等差數列，且公差不能爲0，所以它的三元組子集就未必滿足構成等差這個條件了。

找到這個規律以後就好辦了，存進集合set中，然後在1~2e9中枚舉2^n，再加到集合元素a[i]上，看有幾個在集合中即可，如果夠不成等差數列，即只有一個元素的時候，那就輸出a[1]就好了。

本人AC代碼：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 7;
map <int, int> mp;
vector <int> vec;
queue <int> qua;
set <ll> sst;
int n;
ll a[maxn];

int main() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		sst.insert(a[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(ll j = 1; j <= 2e9; j *= 2) {
			if(sst.count(a[i] + j) && sst.count(a[i] + 2 * j)) {
				puts("3");
				printf("%I64d %I64d %I64d\n", a[i], a[i] + j, a[i] + 2 * j);
				return 0;
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(ll j = 1; j <= 2e9; j *= 2) {
			if(sst.count(a[i] + j)) {
				puts("2");
				printf("%I64d %I64d\n", a[i], a[i] + j);
				return 0;
			}
		}
	}
	puts("1");
	cout << a[1] << endl;
}