對於一個無向連通圖來說，它可能有很多生成樹，那麼如何求得它的生成樹個數呢？
首先給出一個非常一般的計算方法 -- 矩陣行列式法
對於任何一個頂點數爲n的無向連通圖，我們列出一個矩陣。
矩陣的規則是：
1、在主對角線上的元素爲此節點的度數
2、對於其他位置上的元素Matrix(i,j) { i != j }，
(1) 如果節點i和節點j連通，則Matrix(i,j)的值爲-k，其中k值爲節點i到節點j的平行邊個數。如果此圖是一個簡單圖，即任意兩點間不存在平行邊，那麼這個值就爲-1.
(2) 但如果節點i和節點j根本不連通，則Matrix(i,j)的值爲0。這樣的一個矩陣Matrix就會很容易的用O(n^2)的複雜度建立。接下來如何求得這個無向連通圖的生成樹個數呢。直接給出定理：撤去任意一個節點的信息，求出剩下的(n-1)*(n-1)矩陣的行列式，此值即爲這個無向連通圖的生成樹個數。複雜度爲O(n^3) 下面給出一個例子： 此圖上的節點數爲n = 8，則根據上述方法，我們要列出一個8*8的矩陣，然後再消去一行，算出其行列式。 矩陣爲：(8*8) 2 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 3 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 4 0 -1 -1 -1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 假如去掉第1個節點的信息，那麼也就是去掉第一行和第一列，則矩陣變爲：（7*7） 1 0 0 0 0 0 0 0 3 -1 -1 0 0 0 0 -1 4 0 -1 -1 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 上述圖的生成樹個數可以通過求上面這個7*7矩陣的行列式算出。 具體證明可以參考 Algorithmic graph theory / Alan Gibbons Gibbons, Alan (Alan M.)
下面來看兩個問題：
問題一： TN's Kingdom I - Establishment http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2819 這個問題其中比較重要的一步就是求一個K階完全圖的最小生成樹的個數。通過上述方法則可以很容易的求出其個數爲n^(n-2)個。在上述的那本參考書中還有另一種證明方法，組合數學的方法，也可以參考參考。
問題二：Spanning trees in a fan http://acm.hit.edu.cn/ojs/show.php?Proid=100322&Contestid=42 這個問題是給定一個特殊規定的無向連通圖，求其生成樹的個數。此問題當然可以用上述矩陣法求解，但是其點可以達到1000，那麼 O(n^3)的複雜度還是很難接受的。但是此題非常簡單，可以用很容易的遞推搞定，也可以用上述的方法檢驗。 具體方法如下： 設ans[i]表示有i個節點時，此圖生成樹的個數。那麼我們只要找到其第i+1個節點插入後，生成樹如何變化就可以了。如果想把第i+1個節點也加入生成樹的話，那麼只有三種連入前i個節點生成樹的方案。 1、將i與i+1節點相連 2、將0與i+1節點相連 3、將0與i+1,i與i+1都相連（這樣會多一條邊） 情況1和情況2非常好處理，都分別等於ans[i]，所以遞推式先可寫爲ans[i+1] = 2*ans[i] + N(情況3)；那麼情況3又如何計算呢，其實也很簡單，由於情況3中要加入2條邊，那麼也就是說前面的模型必須要有i-1條邊（因爲0-i共有i+1個節點，所以生成樹需要i條邊，但是要少一條，所以爲i-1條邊）。再考慮情況3中連這兩條線有什麼用處呢，很容易想到，這兩條邊把節點0和節點i相連了起來，如果說以前的模型中已經連通這兩點，那麼就會產生衝突（0 - i必然有環，不爲樹）。那麼也就是說要想在原來的模型上加上這兩條邊，原來的模型中節點0和節點i之間必然不連通，那麼遞推式中的N(情況3)也就是節點0與節點i不連通的模型的個數。也就是說可以取k ( 1 <= k < i ）,並且使0,1,2,……,k都連通成樹，然後k+1,k+2,……,i都連通並且和0不連通。 所以很容易的計算出N(情況3)=SUM{ans[k]} (1 <= k < i)。整個遞推公式就完成了，答案爲： ans[i+1] = 2*ans[i] + SUM{ans[k]} (1 <= k < i); 這樣的公式我們還是很滿意，可以用O(n)的複雜度生成答案表，空間複雜度也是O(n)，但是要存儲前i項ans[]和。 其實我們更可以進一步遞推，使得式子變爲更簡單。可以猜想加數學歸納法證明： ans[i+1] = 3*ans[i] - ans[i-1]; 這樣的式子是我們能得到的最滿意的式子了。 通過上面的兩道題，我們可以看出，生成樹個數的問題要看規模，在O(n^3)複雜度允許的情況下，可以使用矩陣法，如果複雜度不允許的情況下，我們可以直接找出其遞推關係。 以上算法也正在研究中，如果有什麼不對之處，請大家批評指正:)