圖像的頻域變換

具體代碼如下:

int main(int argc,char *argv[])
{
    Mat image = imread("/Users/hanoi/Desktop/lena.bmp",0);
    printf("width=%d,height=%d\n",image.rows,image.cols);
    
    Mat padded;
    int m = getOptimalDFTSize(image.rows);  // Return size of 2^x that suite for FFT
    int n = getOptimalDFTSize(image.cols);
    // Padding 0, result is @padded
    copyMakeBorder(image, padded, 0, m-image.rows, 0, n-image.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
    
    // Create planes to storage REAL part and IMAGE part, IMAGE part init are 0
    Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F) };
    Mat complexI;
    merge(planes, 2, complexI);
    
    dft(complexI, complexI);
    
    // compute the magnitude and switch to logarithmic scale
    split(complexI, planes);
    magnitude(planes[0], planes[0], planes[1]);
    Mat magI = planes[0];
    
    // => log(1+sqrt(Re(DFT(I))^2+Im(DFT(I))^2))
    magI += Scalar::all(1);
    log(magI, magI);
    
    // crop the spectrum
    magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & (-2), magI.rows & (-2)));
    Mat _magI = magI.clone();
    normalize(_magI, _magI, 0, 1, CV_MINMAX);
    
    // rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image center
    int cx = magI.cols/2;
    int cy = magI.rows/2;
    
    Mat q0(magI, Rect(0,0,cx,cy));    // Top-Left
    Mat q1(magI, Rect(cx,0,cx,cy));   // Top-Right
    Mat q2(magI, Rect(0,cy,cx,cy));   // Bottom-Left
    Mat q3(magI, Rect(cx,cy,cx,cy));  // Bottom-Right
    
    // exchange Top-Left and Bottom-Right
    Mat tmp;
    q0.copyTo(tmp);
    q3.copyTo(q0);
    tmp.copyTo(q3);
    
    // exchange Top-Right and Bottom-Left
    q1.copyTo(tmp);
    q2.copyTo(q1);
    tmp.copyTo(q2);
    
    normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX);
    Mat magImg(magI.size(),CV_8UC1);
    magI.convertTo(magImg, CV_8UC1,255,0);
    imwrite("/Users/hanoi/Desktop/lena11.bmp", magImg);
    /*
    imshow("Input image", image);
    imshow("Spectrum magnitude before shift frequency", _magI);
    imshow("Spectrum magnitude after shift frequency", magI);
    
    Mat myImage;
    convertScaleAbs(magI, myImage);
    
    double min = 0.0;
    double max = 0.0;
    minMaxLoc(magI, &min, &max);
    double scale = 255.0 / (max - min);
    double shift = -min * scale;
    convertScaleAbs(magI, myImage,scale,shift);
    imwrite("/Users/hanoi/Desktop/lena11.bmp", myImage);
    waitKey();
    */
    return 0;
}

圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈的程度的指標,是灰度在平面空間上的梯度，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上的是高頻分量，圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分，圖像大部分平緩的灰度變化部分則爲低頻分量，也就是說，傅立葉變換提供了另外一個角度觀察圖像，可以將圖像從灰度部分轉化到頻率分佈來觀察圖像的特徵。

頻域在圖像處理中，就我目前知道的用途，是圖像的壓縮和圖像的去燥；

DFT算法的原理要求輸入信號的長度是2^n,這樣就可以以快速使用傅立葉變化算法(FFT)進行加速，所以程序中使用：

copyMakeBorder(image, padded, 0, m-image.rows, 0, n-image.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));

該函數完成對src邊緣的擴充，將圖像變大，然後自動填充圖像的邊界。

對於一維信號，原DFT直接運算的複雜度是O(N^2),而快速傅立葉變換的複雜度是O(Nlog2(N));

由DFT的性質知道，輸入爲實信號(圖像)的時候，頻域輸出爲複數，因此將頻域信息分爲幅值和相位，而頻域的幅值高的代表高頻分量，幅值低的代表低頻分量。

DFT要分別計算實部和虛部，把要處理的圖像作爲輸入的實部，一個全零的圖像作爲輸入的虛部，dft()輸入和輸出應該分別爲單張圖像，所以要先用merge()把實部和徐部圖像合併，分別處於圖像的2個通道內，計算得到的實部和虛部仍然保存在2個通道之內；

一般都會用幅度圖像來表示圖像傅立葉變換的結果(傅立葉譜)

幅度的計算公式： magnitude = sqrt（Re(DFT)^2 + Im(DFT)^2);

由於幅度的變化範圍很大，而一般的圖像亮度範圍只有[0,255]，容易造成一大片漆黑，只有幾個點很亮，所以要使用log函數把數值的範圍縮小；

dft()直接獲取的結果中，低頻部分位於四角，高頻部分位於中間，習慣上會把圖像做成4等分，互相對調，使低頻部分位於圖像中心，也就是讓頻域原點位於中心；

中心的亮點反映的是圖像的低頻信息，也就是圖像的平滑部分，因爲平滑的部分所佔圖像的比例較高，故能量較高，而圖像的邊緣的信息，也就是高頻信息，即圖像突變比較多的地方相當較少，因此能量低，而能量越高，而在頻譜圖中所表現出來的就越亮。