八大排序算法——堆排序

八大排序

排序，分爲內部排序和外部排序，內部排序是指將數據記錄在內存中進行排序，而外部排序因排序的數據很大，一次不能容納全部的排序記錄，在排序過程中需要訪問外存，所以稱之爲外部排序，我們這裏講的八大排序全部屬於內部排序。

八大排序時間/空間複雜度及穩定性

堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆積樹（堆）這種數據結構所設計的一種排序算法，它是選擇排序的一種。可以利用數組的特點快速定位指定索引的元素。堆分爲大根堆和小根堆，是完全二叉樹。大根堆的要求是每個節點的值都不大於其父節點的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在數組的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因爲根據大根堆的要求可知，最大的值一定在堆頂。這裏要注意的是堆排序採用的是完全二叉樹的思想，但它的存儲結構採用的是數組。

堆排序的過程（大根堆）

• 調整堆：調整堆即是將最初無規則的堆調整爲大根堆。它的每一次調整都是將非葉子結點i與其左孩子left[i]和右孩子light[i]進行比較，若非葉子結點i不是其中最大的，那麼將其與最大的結點位置互換。堆的第一次調整是從最後一個非葉子結點開始依次向根節點調整的，這就是爲什麼它要採用完全二叉樹的原因，因爲這樣可以快速的在數組中定位最後一個非葉子結點，即a[n/2-1]，其中a是待排序的數組，n是數組a的下標值。那麼就是說，下標爲n/2-1的結點就是最後一個非葉子節點。堆的第一次調整函數的調用關係大概可以總結爲循環調用+遞歸調用。其過程如下：
  
  • 初始完全二叉樹
    
  • 數值3爲最後一個非葉子結點，將其與它的孩子結點相比較，8>3，位置互換
    
  • 判斷被調整後的結點3是否爲非葉子結點，3不是，函數調用進入下一層循環，將結點7與它的左右兒子結點相比較，20>17>7，將結點20與結點7位置互換
    
  • 判斷被調整後的結點7是否爲非葉子結點，7不是，函數調用進入最後一層循環，將結點16與它的左右兒子結點相比較，20>16>7，將結點16與結點20位置互換
    
  • 判斷被調整後的結點16是否爲非葉子結點，16是，函數進行遞歸調用，將結點16與它的左右兒子結點相比較，17>16>7，將結點17與結點16位置互換
    
  • 判斷被調整後的結點16是否爲非葉子結點，16不是，循環結束，堆調整完畢。
• 堆排序：可以看到，上面的調整堆算法循環調用執行完畢以後，結果是一個大根堆，堆排序所要做的就是將堆頂元素20與最後一個元素3互換位置，即將a[0]與a[n-1]互換位置，換位置之後a[0]至a[n-2]元素又組成一個新的堆，這時的調整堆與第一次調整剛好相反，它是從堆頂元素開始調整，一直往下延伸，是一個純遞歸的過程，具體過程如下：
  
  到這裏，排序就算是執行完了，從上述過程可知，堆排序其實也是一種選擇排序，是一種樹形選擇排序。只不過直接選擇排序中，爲了從a[1…n]中選擇最大記錄，需比較n-1次，然後從a[1…n-2]中選擇最大記錄需比較n-2次。事實上這n-2次比較中有很多已經在前面的n-1次比較中已經做過，而樹形選擇排序恰好利用樹形的特點保存了部分前面的比較結果，因此可以減少比較次數，這就是爲什麼第一次調整堆是從下往上，而之後都是從上往下。對於n個關鍵字序列，最壞情況下每個節點需比較log2(n)次，因此其最壞情況下時間複雜度爲nlogn。堆排序爲不穩定排序，不適合記錄較少的排序。下面是堆排序的c語言實現：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

//堆調整算法
void HeapAdjust(int num[],int i,int length)
{
    //定義max保存以num[i]爲根的最小堆中最大值的下標，初始值爲i
    int max=i;
    //判斷num[i]是否爲根結點 （下標i<=length/2-1的結點都是根節點）
    if(i<=length/2-1)
    {
        //判斷num[2*i+1]是否在堆內，若在,判斷其是否大於num[max]，若大於，將其下標2*i+1賦予給max
        if((2*i+1)<length && num[2*i+1]>num[max])
        {
            max=2*i+1;
        }
        //判斷num[2*(i+1)]是否在堆內，若在，判斷其是否大於num[max]，若大於，將其下標2*(i+1)賦予給max
        if((2*(i+1))<length && num[2*(i+1)]>num[max])
        {
            max=2*(i+1);
        }
        //若i不等於max，則說明以num[i]爲根的最小堆中num[max]是最大值，將num[max]與根結點num[i]交換位置
        if(i!=max)
        {
            num[i]=num[i]^num[max];
            num[max]=num[i]^num[max];
            num[i]=num[i]^num[max];
            //交換後，爲防止以num[max]爲根結點的最小堆結構發生變換，再次調用堆調整算法
            HeapAdjust(num,max,length);
        }
    }
}
//堆排序算法
void HeapSort(int num[],int length)
{
    int i;
    //找到最後一個非葉子結點，先從最後一個非葉子結點組成的最小堆進行堆調整
    for(i=length/2-1;i>=0;i--)
        //調用調整堆算法將數組從下往上調整爲大根堆
        HeapAdjust(num,i,length);
    for(i=length-1;i>0;i--)
    {
        //將數組第一個數和最後一個數換位置
        num[i]=num[i]^num[0];
        num[0]=num[i]^num[0];
        num[i]=num[i]^num[0];
        //繼續調用調整堆算法，將剩餘數據組成的堆從上往下調整爲大根堆
        HeapAdjust(num,0,i);
    }
}
int main()
{
    int i;
    int num[]={8,5,7,12,48,36,4};
    HeapSort(num,sizeof(num)/sizeof(int));
    for(i=0;i<sizeof(num)/sizeof(int);i++)
    {
        printf("%d\t",num[i]);
    }
    printf("\n");
}