| 使用實例講解RSA算法（用於公鑰和私鑰體系） | ||
| 更新日期：2010年4月27日 | ||
使用實例講解RSA算法（用於公鑰和私鑰體系） 摘自http://www.cfca.com.cn/zhishi/wz-012.htm
RSA加密算法是最常用的非對稱加密算法，CFCA在證書服務中離不了它。但是有不少新來的同事對它不太瞭解，恰好看到一本書中作者用實例對它進行了簡化而生動的描述，使得高深的數學理論能夠被容易地理解。我們經過整理和改寫特別推薦給大家閱讀，希望能夠對時間緊張但是又想了解它的同事有所幫助。 RSA是第一個比較完善的公開密鑰算法，它既能用於加密，也能用於數字簽名。RSA以它的三個發明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，這個算法經受住了多年深入的密碼分析，雖然密碼分析者既不能證明也不能否定RSA的安全性，但這恰恰說明該算法有一定的可信性，目前它已經成爲最流行的公開密鑰算法。 RSA的安全基於大數分解的難度。其公鑰和私鑰是一對大素數（100到200位十進制數或更大）的函數。從一個公鑰和密文恢復出明文的難度，等價於分解兩個大素數之積（這是公認的數學難題）。 RSA的公鑰、私鑰的組成，以及加密、解密的公式可見於下表：
可能各位同事好久沒有接觸數學了，看了這些公式不免一頭霧水。別急，在沒有正式講解RSA加密算法以前，讓我們先複習一下數學上的幾個基本概念，它們在後面的介紹中要用到： 一、 什麼是“素數”？ 素數是這樣的整數，它除了能表示爲它自己和1的乘積以外，不能表示爲任何其它兩個整數的乘積。例如，15＝3＊5，所以15不是素數；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素數。另一方面，13除了等於13＊1以外，不能表示爲其它任何兩個整數的乘積，所以13是一個素數。素數也稱爲“質數”。 二、什麼是“互質數”（或“互素數”）？ 小學數學教材對互質數是這樣定義的：“公約數只有1的兩個數，叫做互質數。”這裏所說的“兩個數”是指自然數。 判別方法主要有以下幾種（不限於此）： （1）兩個質數一定是互質數。例如，2與7、13與19。 （2）一個質數如果不能整除另一個合數，這兩個數爲互質數。例如，3與10、5與 26。 （3）1不是質數也不是合數，它和任何一個自然數在一起都是互質數。如1和9908。 （4）相鄰的兩個自然數是互質數。如 15與 16。 （5）相鄰的兩個奇數是互質數。如 49與 51。 （6）大數是質數的兩個數是互質數。如97與88。 （7）小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。如 7和 16。 （8）兩個數都是合數（二數差又較大），小數所有的質因數，都不是大數的約數，這兩個數是互質數。如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數，這兩個數爲互質數。等等。 三、什麼是模指數運算？ 指數運算誰都懂，不必說了，先說說模運算。模運算是整數運算，有一個整數m，以n爲模做模運算，即m mod n。怎樣做呢？讓m去被n整除，只取所得的餘數作爲結果，就叫做模運算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。 模指數運算就是先做指數運算，取其結果再做模運算。如 好，現在開始正式講解RSA加密算法。 算法描述： （1）選擇一對不同的、足夠大的素數p，q。 （2）計算n=pq。 （3）計算f(n)=(p-1)(q-1)，同時對p, q嚴加保密，不讓任何人知道。 （4）找一個與f(n)互質的數e，且1< SPAN>。 （5）計算d，使得de≡1 mod f(n)。這個公式也可以表達爲d ≡e-1 mod f(n) 這裏要解釋一下，≡是數論中表示同餘的符號。公式中，≡符號的左邊必須和符號右邊同餘，也就是兩邊模運算結果相同。顯而易見，不管f(n)取什麼值，符號右邊1 mod f(n)的結果都等於1；符號的左邊d與e的乘積做模運算後的結果也必須等於1。這就需要計算出d的值，讓這個同餘等式能夠成立。 （6）公鑰KU=(e,n)，私鑰KR=(d,n)。 （7）加密時，先將明文變換成0至n-1的一個整數M。若明文較長，可先分割成適當的組，然後再進行交換。設密文爲C，則加密過程爲： （8）解密過程爲： 實例描述： 在這篇科普小文章裏，不可能對RSA算法的正確性作嚴格的數學證明，但我們可以通過一個簡單的例子來理解RSA的工作原理。爲了便於計算。在以下實例中只選取小數值的素數p,q,以及e，假設用戶A需要將明文“key”通過RSA加密後傳遞給用戶B，過程如下： （1）設計公私密鑰(e,n)和(d,n)。 令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3與20互質）則e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。 d怎樣取值呢？可以用試算的辦法來尋找。試算結果見下表：
通過試算我們找到，當d=7時，e×d≡1 mod f(n)同餘等式成立。因此，可令d=7。從而我們可以設計出一對公私密鑰，加密密鑰（公鑰）爲：KU =(e,n)=(3,33)，解密密鑰（私鑰）爲：KR =(d,n)=(7,33)。 （2）英文數字化。 將明文信息數字化，並將每塊兩個數字分組。假定明文英文字母編碼表爲按字母順序排列數值，即：
則得到分組後的key的明文信息爲：11，05，25。 （3）明文加密 用戶加密密鑰(3,33) 將數字化明文分組信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
因此，得到相應的密文信息爲：11，31，16。 （4）密文解密。 用戶B收到密文，若將其解密，只需要計算，即：
用戶B得到明文信息爲：11，05，25。根據上面的編碼表將其轉換爲英文，我們又得到了恢復後的原文“key”。 你看，它的原理就可以這麼簡單地解釋！ 當然，實際運用要比這複雜得多，由於RSA算法的公鑰私鑰的長度（模長度）要到1024位甚至2048位才能保證安全，因此，p、q、e的選取、公鑰私鑰的生成，加密解密模指數運算都有一定的計算程序，需要仰仗計算機高速完成。 最後簡單談談RSA的安全性 首先，我們來探討爲什麼RSA密碼難於破解？ 在RSA密碼應用中，公鑰KU是被公開的，即e和n的數值可以被第三方竊聽者得到。破解RSA密碼的問題就是從已知的e和n的數值（n等於pq），想法求出d的數值，這樣就可以得到私鑰來破解密文。從上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我們可以看出。密碼破解的實質問題是：從Pq的數值，去求出(p-1)和(q-1)。換句話說，只要求出p和q的值，我們就能求出d的值而得到私鑰。 當p和q是一個大素數的時候，從它們的積pq去分解因子p和q，這是一個公認的數學難題。比如當pq大到1024位時，迄今爲止還沒有人能夠利用任何計算工具去完成分解因子的任務。因此，RSA從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸爲人們接受，普遍認爲是目前最優秀的公鑰方案之一。 然而，雖然RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何。 此外，RSA的缺點還有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，爲保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個數量級；且隨着大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標準化。因此，使用RSA只能加密少量數據，大量的數據加密還要靠對稱密碼算法。 |
