HDU6128 Inverse of sum

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题意

​ 存在一个长度为 n 非负数列 A ,满足条件 ai<q 。求存在多少对 i,j(1≤i<j≤n) 满足 1ai+aj≡1ai+1ajmodp ，即和的逆元与逆元的和同余。

分析

​ 题目中已经提示了0没有逆元，即碰到0跳过即可。 先对题目中的同余式进行化简，获得

1≡1+ajai+1+aiajmodp(1)

进一步化简得到

a2i+a2j+aiaj≡0modp(2)

此前一直想要通过二次剩余硬搞过去，然而无奈一直T,大概初学二次剩余,方法太渣。最后参考网上大牛做法后得知可以两边同乘一个 ai−aj 再进一步化简得到

a3i−a3j≡0modp(3)

于是只要通过快速乘法枚举每个 a3i 计算和其同余的个数即可，不过要注意式(3)是通过乘 ai−aj 获取的，在 ai==aj 时原式并不一定合法，还需要验证式(2)在此时是否合法，若不合法则需相应减去ai==aj 的情况。实现过程可以参考代码。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<fstream>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 100100
LL a[MAXN];
map<LL,int> num;
map<LL,int> cnt;
LL multi(LL a,LL b,LL p){
    LL ret=0;
    while(b){
        if(b&1)
            ret=(ret+a)%p;
        b>>=1;
        a=(a+a)%p;
    }
    return ret;
}
int main(){
    int T,n;
    LL p,ans;
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%d %I64d",&n,&p);
        num.clear();
        cnt.clear();
        ans=0;
        for(int i=0;i<n;++i){
            scanf("%I64d",&a[i]);
            if(!a[i])
                continue;
            if(multi(multi(a[i],a[i],p),3,p))
                ans-=cnt[a[i]];
            LL val=multi(multi(a[i],a[i],p),a[i],p);
            ans+=num[val]++;
            cnt[a[i]]++;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
}