[cqbzoj]區間異或最大值 - USACO 奶牛異或

奶牛異或

時間限制: 1 Sec 內存限制: 64 MB

題目描述

農民約翰在餵奶牛的時候被另一個問題卡住了。他的所有N(1 <= N <= 100,000)個奶牛在他面前排成一行(按序號1..N的順序)，按照它們的社會等級排序。奶牛#1有最高的社會等級，奶牛#N最低。每個奶牛同時被賦予了一個唯一的數在0..2^21 - 1的範圍內。幫助農民約翰找出應該從那一頭奶牛開始喂，使得從它開始的某一個連續的子序列上的奶牛的數的異或最大。如果有多個這樣的子序列，選擇結尾的奶牛社會等級最高的。如果還不唯一，選擇最短的。
輸入
第1行:一個單獨的整數N。第2到N + 1行:N個0..2^21 – 1之間的整數，代表每頭奶牛的被賦予的數。第j行描述了社會等級j – 1的奶牛。
輸出
第 1 行: 3個空格隔開的整數，分別爲：最大的異或值，序列的起始位置、終止位置。

樣例輸入

5
1
0
5
4
2

樣例輸出

6 4 5

解題報告

這是區間異或最大值的裸題
PS：想到這個問題時，在寢室裏， 一中午睡覺沒睡着沒頭緒只想到N^2暴力法。。後來ljh大嬸一句Trie驚醒夢中人， 就搞出來了。。

正解：
把數列最前面加上一個0，然後做一個異或前綴和， 那麼原問題轉化成從搞出來的n+1個異或前綴和中找兩個數異或使得他們的異或值最大。這麼轉化的理是異或的一個公式

axorb=c

如果成立那麼a，b，c怎麼交換形成的等式都是成立的。

那麼接下來就解決n+1個數找兩個數異或最大值的問題了，貪心的想，高位爲1是最好的。把每個數看爲一個20位從高位到低位的01串，於是對n個數依次做如下處理(處理到第i個數)：
1.把這個數按位取反後在trie上進行查詢：嘗試走匹配的節點，如果爲空還是繼續向另一個不匹配的兒子走。這個兒子一定是存在的，因爲樹上每個節點都必然被一個深度爲20的串插♂入過， 向下查詢20層後返回到達節點的id值,就是插入最近時間訪問這個節點的串的在原數字串的下標。
2.如果nums[id]^nums[i] > ans 那麼更新ans
3.把這個串插入trie樹中，並更新插入路徑上的id值。

就這樣搞定啦（具體貪心思路看實現）！

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int MAXN = 110000;
namespace trie {
    struct Node {
        int ch[2];
        int id;
    } d[MAXN*35];
    int tot = 0;
    inline int newNode () {
        memset(d+(++tot), 0, sizeof d[0]);
        return tot;
    }
    inline void insert(int val, int id) {
        //printf("ins:%d\n", val);
        int mask = 1<<29, u = 0, t;
        d[u].id = id;
        while(mask) {
            t = bool(val&mask);
            if(!d[u].ch[t])
                d[d[u].ch[t] = newNode()].id = id;
            else d[d[u].ch[t]].id = id;
            u = d[u].ch[t];
            mask >>= 1;
        }
    }
    inline int query(int val) {
        int mask = 1<<29, u = 0, t;
        while(mask) {
            t = !(bool(val&mask));
            if(!d[u].ch[t]) u = d[u].ch[!t];
            else u = d[u].ch[t];
            mask >>= 1;
        }
        return d[u].id;
    }
}

inline int getInt() {
    int ret = 0;
    char ch; bool f = false;
    while((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') f |= (ch == '-');
    do{ret *= 10; ret += ch - '0';}
    while((ch = getchar()) >= '0' &&  ch <= '9');
    return f ? -ret : ret;
}

int nums[MAXN];
int pref[MAXN];

int main() {
    int n;
    n = getInt();
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        nums[i] = getInt();
    int ans = 0, l, r;
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        pref[i] = pref[i-1]^nums[i];
    trie :: insert(0, 0);
    r = 1;
    for(int i = 1; i<=n; i++) {
        int lp = trie :: query(pref[i]);
        //printf("p:%d q:%d\n", i, lp);
        if((pref[lp]^pref[i]) > ans) {
            ans = pref[lp]^pref[i];
            l = lp; r = i;
        }
        trie :: insert(pref[i], i);
    }
    printf("%d %d %d\n", ans, l+1, r);
}