[cqbzoj]区间异或最大值 - USACO 奶牛异或

奶牛异或

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题目描述

农民约翰在喂奶牛的时候被另一个问题卡住了。他的所有N(1 <= N <= 100,000)个奶牛在他面前排成一行(按序号1..N的顺序)，按照它们的社会等级排序。奶牛#1有最高的社会等级，奶牛#N最低。每个奶牛同时被赋予了一个唯一的数在0..2^21 - 1的范围内。帮助农民约翰找出应该从那一头奶牛开始喂，使得从它开始的某一个连续的子序列上的奶牛的数的异或最大。如果有多个这样的子序列，选择结尾的奶牛社会等级最高的。如果还不唯一，选择最短的。
输入
第1行:一个单独的整数N。第2到N + 1行:N个0..2^21 – 1之间的整数，代表每头奶牛的被赋予的数。第j行描述了社会等级j – 1的奶牛。
输出
第 1 行: 3个空格隔开的整数，分别为：最大的异或值，序列的起始位置、终止位置。

样例输入

5
1
0
5
4
2

样例输出

6 4 5

解题报告

这是区间异或最大值的裸题
PS：想到这个问题时，在寝室里， 一中午睡觉没睡着没头绪只想到N^2暴力法。。后来ljh大婶一句Trie惊醒梦中人， 就搞出来了。。

正解：
把数列最前面加上一个0，然后做一个异或前缀和， 那么原问题转化成从搞出来的n+1个异或前缀和中找两个数异或使得他们的异或值最大。这么转化的理是异或的一个公式

axorb=c

如果成立那么a，b，c怎么交换形成的等式都是成立的。

那么接下来就解决n+1个数找两个数异或最大值的问题了，贪心的想，高位为1是最好的。把每个数看为一个20位从高位到低位的01串，于是对n个数依次做如下处理(处理到第i个数)：
1.把这个数按位取反后在trie上进行查询：尝试走匹配的节点，如果为空还是继续向另一个不匹配的儿子走。这个儿子一定是存在的，因为树上每个节点都必然被一个深度为20的串插♂入过， 向下查询20层后返回到达节点的id值,就是插入最近时间访问这个节点的串的在原数字串的下标。
2.如果nums[id]^nums[i] > ans 那么更新ans
3.把这个串插入trie树中，并更新插入路径上的id值。

就这样搞定啦（具体贪心思路看实现）！

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int MAXN = 110000;
namespace trie {
    struct Node {
        int ch[2];
        int id;
    } d[MAXN*35];
    int tot = 0;
    inline int newNode () {
        memset(d+(++tot), 0, sizeof d[0]);
        return tot;
    }
    inline void insert(int val, int id) {
        //printf("ins:%d\n", val);
        int mask = 1<<29, u = 0, t;
        d[u].id = id;
        while(mask) {
            t = bool(val&mask);
            if(!d[u].ch[t])
                d[d[u].ch[t] = newNode()].id = id;
            else d[d[u].ch[t]].id = id;
            u = d[u].ch[t];
            mask >>= 1;
        }
    }
    inline int query(int val) {
        int mask = 1<<29, u = 0, t;
        while(mask) {
            t = !(bool(val&mask));
            if(!d[u].ch[t]) u = d[u].ch[!t];
            else u = d[u].ch[t];
            mask >>= 1;
        }
        return d[u].id;
    }
}

inline int getInt() {
    int ret = 0;
    char ch; bool f = false;
    while((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') f |= (ch == '-');
    do{ret *= 10; ret += ch - '0';}
    while((ch = getchar()) >= '0' &&  ch <= '9');
    return f ? -ret : ret;
}

int nums[MAXN];
int pref[MAXN];

int main() {
    int n;
    n = getInt();
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        nums[i] = getInt();
    int ans = 0, l, r;
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        pref[i] = pref[i-1]^nums[i];
    trie :: insert(0, 0);
    r = 1;
    for(int i = 1; i<=n; i++) {
        int lp = trie :: query(pref[i]);
        //printf("p:%d q:%d\n", i, lp);
        if((pref[lp]^pref[i]) > ans) {
            ans = pref[lp]^pref[i];
            l = lp; r = i;
        }
        trie :: insert(pref[i], i);
    }
    printf("%d %d %d\n", ans, l+1, r);
}