圖靈機

 一種抽象的計算模型。因英國數學家A.M.圖靈於1936年提出而得名。研究圖靈機的主要目的是對“算法”、“有效過程”這樣的直觀概念給出精確的數學定義，從而精確刻畫可計算性與可判定性等基本概念。由於圖靈機在計算能力上等價於數字計算機，故利用圖靈機可以研究計算機的能力和侷限性。對圖靈機的研究集中在兩個方面：第一，研究圖靈機所定義的語言類，該語言類稱爲遞歸可枚舉集合。第二，研究圖靈機所計算的函數類，該函數類稱爲部分遞歸函數。
   作爲有效過程或算法的形式模型，圖靈機的每個動作過程都應該是有窮可描述的。其次，每個過程應該由離散的步驟組成，每一步都能夠機械地實現。圖靈機有多種模型，如非確定型，多維型，多帶多頭型等，它們在計算能力上是等價的，且都是圖靈機基本模型的變種。
    基本模型 圖靈機基本模型有一個有窮控制器，一條輸入帶和一個帶頭，帶被分成許多單元，帶頭在每個時刻掃視帶上的一個單元。該帶有一個最左單元，向右則是無限的。帶的每個單元正好可容納有窮個帶符號中的一個。開始時，最左邊n個單元（n≥0，是一有窮數）放着輸入，它是取自帶符集的一個字符串，其餘無窮多單元放空自符。空自符是特殊帶符號，但不是輸入符號。基本模型可圖示如下：
    在一個動作中  ，圖靈機根據帶頭掃視的符號和有窮控制器的狀態，執行如下操作：①改變狀態。②在被掃視的帶單元上打印一個符號，以代替原有的符號。③將帶頭向左或向右移動一個單元。形式上，一個圖靈機（TM）記成一個七元組：
    M＝（Q，Σ，Γ，δ，q₀，B，F），其中：Q是狀態的有窮集合；Γ是允許使用的帶符號的有窮集合；B是空白符，B∈Γ；Σ是輸入符號集，ΣΓ-｛B｝；δ是下一動作函數，它是從Q×T到Q×Γ×｛L，R｝的映射，δ對某些自變量可沒有定義。q₀是初始狀態，q₀∈Q；FQ是終結狀態的集合。
    在每一時刻，機器所處狀態，帶子上已寫符號的所有格子以及機器當前掃視的格子位置，統稱爲機器的格局。圖靈機從初始格局出發，按程序一步步把初始格局改造爲格局的序列。此過程可能無限制繼續下去，也可能遇到指令表中沒有列出的狀態、符號組合或進入結束狀態而停機。在結束狀態下停機所達到的格局是最終格局，此最終格局就包含機器的計算結果。
    其他模型 對圖靈機的基本模型進行修改或擴充，可以得到多種其他類型的圖靈機：①雙向無限帶圖靈機。其帶子向左向右都是無限長的，與基本模型不同的是，它的帶子沒有左端、帶頭永遠不會走出兩端。②多帶多頭圖靈機具有一個有窮控制器，k個帶頭和k條帶子，每條帶子都是雙向無窮的，並且各帶頭在操作時相互獨立，除改寫帶符左右移動外，還可以保持不動。雙帶多頭圖靈機是單帶圖靈機的直接推廣。③非確定型圖靈機。具有一個有限控制器和一條單向無限帶，對於一個給定的狀態和被帶頭掃視的帶符號，機器對下一動作可有有窮多個選擇，每個選擇包括一個新狀態，一個要打印的帶符號和一個帶頭移動方向。如果存在一個動作選擇序列導致一個接受狀態，則稱該非確定型圖靈機接受它的輸入。④多維圖靈機。具有通常的有窮控制器，但帶子由k維單元陣列組成，並且在所有2k個方向上都是無限擴展的，這裏的k是一固定的數。根據當前狀態和被掃視的符號，多維圖靈機的下一動作包括：改變狀態；打印一個新符號；在2k個方向之一上移動它的帶頭。
    除極個別情形外，上述圖靈機的變種並未擴展圖靈機的計算能力，它們計算的函數類與基本圖靈機是相同的，但對研究不同類型的問題提供了方便的理論模型。
    用途 作爲研究計算的一般性質的抽象工具，圖靈機主要有3種用途，也可以認爲是研究圖靈機的3種觀點。
   ①作爲語言接受器。被M接受的語言記作L（M），它是Σ^*中的這樣一些字符串的集合  ，當把這些字符串放在M的帶子上，M處於q₀狀態且M的帶頭處在最左單元時，這些字符串可以使M進入一個終結狀態而停機。給定一個識別語言L的圖靈機M，一般假定，當輸入被接受時，M爲停機，即沒有下一動作。然而對於不被接受的字符串，M可能永不停機。被圖靈機接受的語言稱爲遞歸可枚舉語言。遞歸集合是遞歸可枚舉集合的子類，遞歸集合總能被對所有輸入都能停機的圖靈機所接受。
   ②作爲整數函數計算機。被圖靈機計算的函數稱爲部分遞歸函數。在某種意義上，部分遞歸函數類似於遞歸可枚舉語言，因爲計算它的圖靈機在給定的輸入上可能不停機。完全遞歸函數對應於遞歸語言，因爲它能被總能停機的圖靈機計算。
   ③作爲語言產生器。設M是一個多帶圖靈機，它用一條帶作爲輸出帶，在這條帶上，符號一經寫上就不能再改寫，輸出帶的帶頭也不能左移。假定在輸出帶上，M寫出某個字母表Σ上的一些字符串，並用分隔符分開，則最終打印在輸出帶上的字符串的集合就稱爲由M生成的語言，記爲G（M）,G(M)Σ^*。如果L是某個圖靈機生成的語言，則L是遞歸可枚舉集合，反之亦然。