【轉】二進制數的相關基礎

1.如果你不知道二進制怎麼編碼，請繼續，否則請跳到2

    1字節 = 8位，所以它能表示的最大數當然是8位都是1（既然2進制的數只能是0或1,如果是我們常見的10進制，那就8位都爲9，這樣說，你該懂了？）

1字節的二進制數中，最大的數：11111111。

    這個數的大小是多少呢？讓我們來把它轉換爲十進制數。

    無論是什麼進制，都是左邊是高位，右邊是低位。10進制是我們非常習慣的計數方式，第一位代表有幾個1（即幾個10⁰），第二位代表有幾個10（即幾個10¹），第三位代表有幾個100（即有幾個10²）…，用小學課本上的說法就是：個位上的數表示幾個1，十位上的數表示向個10，百位上的數表示幾個100……

    同理可證，二進制數則是：第1位數表示幾個1 （2⁰），第2位數表示幾個2（2¹），第3位數表示幾個4（2²），第4位數表示向個8(2³)……

    以前我們知道1個字節有8位，現在通過計算,我們又得知：1個字節可以表達的最大的數是255，也就是說表示0~255這256個數。

    那麼兩個字節（雙字節數）呢？雙字節共16位。 1111111111111111，這個數並不大，但長得有點眼暈，從現在起，我們要學會這樣來表達二制數：

1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。

雙字節數最大值爲：

1 * 2¹⁵ + 1 *2¹⁴ + 1* 2¹³ +1 * 2¹² + 1 * 2¹¹ + 1 * 2¹⁰ + …… + 1 * 2² + 1 * 2¹ +1* 2⁰ = 65535

　   很自然，我們可以想到，一種數據類型允許的最大值，和它的位數有關。具體的計算方法方法是，如果它有n位，那麼最大值就是：

n位二進制數的最大值：1 * 2^(n-1) + 1 * 2^(n-2) + ... + 1 *2⁰

2、理解有符號數和無符號數

負數在計算機中如何表示呢？這一點，你可能聽過兩種不同的回答。

一種是教科書，它會告訴你：計算機用“補碼”表示負數。可是有關“補碼”的概念一說就得一節課，這一些我們需要在第6章中用一章的篇幅講2進制的一切。

再者，用“補碼”表示負數，其實一種公式，公式的作用在於告訴你，想得問題的答案，應該如何計算。卻並沒有告訴你爲什麼用這個公式就可以和答案。

另一種是一些程序員告訴你的：用二進制數的最高位表示符號，最高位是0，表示正數，最高位是1，表示負數。這種說法本身沒錯，可是如果沒有下文，那麼它就是錯的。至少它不能解釋，爲什麼字符類型的-1用二進制表示是“1111 1111”(16進製爲FF)；而不是我們更能理解的“1000 0001”。（爲什麼說後者更好理解呢？因爲既然說最高位是1時表示負數，那1000 0001不是正好是-1嗎？

讓我們從頭說起。

2.1、你自已決定是否需要有正負。

就像我們必須決定某個量使用整數還是實數，使用多大的範圍數一樣，我們必須自已決定某個量是否需要正負。如果這個量不會有負值，那麼我們可以定它爲帶正負的類型。

在計算機中，可以區分正負的類型，稱爲有符類型，無正負的類型（只有正值），稱爲無符類型。

數值類型分爲整型或實型，其中整型又分爲無符類型或有符類型，而實型則只有符類型。

字符類型也分爲有符和無符類型。

比如有兩個量，年齡和庫存，我們可以定前者爲無符的字符類型，後者定爲有符的整數類型。

2、使用二制數中的最高位表示正負。

首先得知道最高位是哪一位？1個字節的類型，如字符類型，最高位是第7位，2個字節的數，最高位是第15位，4個字節的數，最高位是第31位。不同長度的數值類型，其最高位也就不同，但總是最左邊的那位（如下示意）。字符類型固定是1個字節，所以最高位總是第7位。

(紅色爲最高位)

單字節數： 1111 1111

雙字節數： 1111 1111 1111 1111

四字節數： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

當我們指定一個數量是無符號類型時，那麼其最高位的1或0，和其它位一樣，用來表示該數的大小。

當我們指定一個數量是有符號類型時，此時，最高數稱爲“符號位”。爲1時，表示該數爲負值，爲0時表示爲正值。

3、無符號數和有符號數的範圍區別。

無符號數中，所有的位都用於直接表示該值的大小。有符號數中最高位用於表示正負，所以，當爲正值時，該數的最大值就會變小。我們舉一個字節的數值對比：

無符號數： 1111 1111   值：255        1* 2⁷ +1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ +1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

有符號數： 0111 1111   值：127       符號位  1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ +1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

　 同樣是一個字節，無符號數的最大值是255，而有符號數的最大值是127。原因是有符號數中的最高位被挪去表示符號了。並且，我們知道，最高位的權值也是最高的（對於1字節數來說是2的7次方=128），所以僅僅少於一位，最大值一下子減半。

不過，有符號數的長處是它可以表示負數。因此，雖然它的在最大值縮水了，卻在負值的方向出現了伸展。我們仍一個字節的數值對比：

無符號數：                                                 0 ----------------- 255

有符號數：        -128 --------- 0---------- 127

同樣是一個字節，無符號的最小值是 0 ，而有符號數的最小值是-128。所以二者能表達的不同的數值的個數都一樣是256個。只不過前者表達的是0到255這256個數，後者表達的是-128到+127這256個數。

一個有符號的數據類型的最小值是如何計算出來的呢？

有符號的數據類型的最大值的計算方法完全和無符號一樣，只不過它少了一個最高位（見第3點）。但在負值範圍內，數值的計算方法不能直接使用1* 2⁶ +1* 2⁵ 的公式進行轉換。在計算機中，負數除爲最高位爲1以外，還採用補碼形式進行表達。所以在計算其值前，需要對補碼進行還原。這裏，先直觀地看一眼補碼的形式：

以我們原有的數學經驗，在10進制中：1 表示正1，而加上負號：-1 表示和1相對的負值。

那麼，我們會很容易認爲在2進制中（1個字節）： 00000001 表示正1，則高位爲1後：1000 0001應該表示-1。然而，事實上計算機中的規定有些相反，請看下錶：

二進制值（1字節）	十進制值
1000 0000紅色的1代表負數藍色的是補碼(補碼=反碼+1)	-128
1000 0001藍色部分代表多大的值？：將補碼還原爲原碼	-127想化成負數？：先減去1再按位取反
1000 0010還原方法：補碼-1再取反	-126
1000 0011	-125
...	...
1111 1110	-2
1111 1111	-1

首先我們看到，從-1到-128，其二進制的最高位都是1（表中標爲紅色），正如我們前面的學。

然後我們有些奇怪地發現，1000 0000 並沒有拿來表示 -0；而1000 0001也不是拿來直觀地表示-1。事實上，-1 用1111 1111來表示。

怎麼理解這個問題呢？先得問一句是-1大還是-128大？

當然是 -1 大。-1是最大的負整數。以此對應，計算機中無論是字符類型，或者是整數類型，也無論這個整數是幾個字節。它都用全1來表示 -1。比如一個字節的數值中：1111 1111表示-1，那麼，11111111 - 1 是什麼呢？和現實中的計算結果完全一致。1111 1111 - 1 = 11111110，而1111 1110就是-2。這樣一直減下去，當減到只剩最高位用於表示符號的1以外，其它低位全爲0時，就是最小的負值了，在一字節中，最小的負值是1000 0000，也就是-128。

我們以-1爲例，來看看不同字節數的整數中，如何表達-1這個數：

字節數	二進制值	十進制值
單字節數	1111 1111紅色表示負數藍色部分的補碼爲值1	-1
負數：原碼就是原來的表示方法、反碼是除符號位（最高位）外取反、補碼=反碼+1雙字節數	1111 1111 1111 1111	-1
四字節數	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111	-1

可能有同學這時會混了：爲什麼 1111 1111 有時表示255，有時又表示-1？

所以我再強調一下本節前面所說的第2點：你自已決定一個數是有符號還是無符號的。

寫程序時，指定一個量是有符號的，那麼當這個量的二進制各位上都是1時，它表示的數就是-1；

相反，如果事選聲明這個量是無符號的，此時它表示的就是該量允許的最大值，對於一個字節的數來說，最大值就是255。

什麼叫機器數？計算機爲什麼要採用補碼？

    在計算機內部，所有信息都是用二進制數串的形式表示的。整數通常都有正負之分，計算機中的整數分爲無符號的和帶符號的。無符號的整數用來表示0和正整數， 帶符號的證書可以表示所有的整數。由於計算機中符號和數字一樣，都必須用二進制數串來表示，因此，正負號也必須用0、1來表示。通常我們用最高的有效位來 表示數的符號（當用8位來表示一個整數時，第8位即爲最高有效位，當用16位來表示一個整數時，第16位即爲最高有效位。）0表示正號、1表示負號，這種 正負號數字化的機內表示形式就稱爲“機器數”，而相應的機器外部用正負號表示的數稱爲“真值”。將一個真值表示成二進制字串的機器數的過程就稱爲編碼。

    無符號數沒有原碼、反碼和補碼一說。只有帶符號數才存在不同的編碼方式。

帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換爲其相應的二進制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原 碼、反碼和補碼都一樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其他位進行取反後的結果（取反即如果該位爲0則變爲1，而該位爲1則變爲0的操作）。而補碼是先 求原碼的反碼，然後在反碼的末尾位加1 後得到的結果，即補碼是反碼+1。IBM-PC中帶符號整數都採用補碼形式表示。（注意，只是帶符號的整數採用補碼存儲表示的，浮點數另有其存儲方式。）

    採用補碼的原因或好處如下。

    採用補碼運算具有如下兩個特徵：

    1）因爲使用補碼可以將符號位和其他位統一處理，同時，減法也可以按加法來處理，即如果是補碼錶示的數，不管是加減法都直接用加法運算即可實現。

    2）兩個用補碼錶示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。

    這樣的運算有兩個好處：

    1）使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構，提高運算速度；（減法運算可以用加法運算表示出來。）

    2）加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換爲加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。

    下面深入分析上面所陳述的採用補碼的原因（目的）。

    用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題，如下：假設字長爲8bits

    ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.。

    因爲在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上，對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：

     ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題。

    ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確

    問題出現在(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。

於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數不變，正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，所以補碼的表示範圍爲：

(-128~0~127)共256個。

    注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼， (-128) = (10000000) 補碼的加減運算如下：

    ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確

     ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確

    採用補碼錶示還有另外一個原因，那就是爲了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼錶示的0有兩種形式+0和-0，而我們知道，+0和-0是相同的。這 樣，8位的原碼和反碼錶示的整數的範圍就是-127~+127（11111111~01111111），而採用補碼錶示的時候，00000000是+0， 即0；10000000不再是-0，而是-128，這樣，補碼錶示的數的範圍就是-128~+127了，不但增加了一個數得表示範圍，而且還保證了0編碼 的唯一性。

    整數和0的原碼、反碼和補碼都相同，下面介紹手工快速求負數補碼的方法。這個方法在教材的第8頁已經提到了，這裏再寫出來以便能引起大家的注意。其方法如下：

    先寫出該負數的相反數（正數），再將該正數的二進制形式寫出來，然後對這個二進制位串按位取反，即若是1則改爲0，若是0則改爲1，最後在末位加1。

接下來的問題是，如何能將減法運算轉換成加法運算呢？

    我們已經知道，原碼錶示簡單直觀，與真值轉換容易。但如果用原碼錶示，其符號位不能參加運算。在計算機中用原碼實現算術運算時，要取絕對值參加運算，符號 位單獨處理，這對乘除運算是很容易實現的，但對加減運算是非常不方便的，如兩個異號數相加，實際是要做減法，而兩個異號數相減，實際是要做加法。在做減法 時，還要判斷操作數絕對值的大小，這些都會使運算器的設計變得很複雜。而補碼這種編碼方式實際上正是針對上述問題的。通過用補碼進行表示，就可以把減法運 算化爲加法運算。

    在日常生活中，有許多化減爲加的例子。例如，時鐘是逢12進位，12點也可看作0點。當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法：

    一種方法是時針逆時針方向撥5格，相當於做減法：

        10－5＝5

    另一種方法是時針順時針方向撥7格，相當於做加法：

      10＋7＝12＋5＝5    (MOD 12)

    這是由於時鐘以12 爲模，在這個前提下，當和超過12時，可將12捨去。於是，減5相當於加7。同理，減4可表示成加8，減3可表示成加9，…。

    在數學中，用“同餘”概念描述上述關係，即兩整數A、B用同一個正整數M (M稱爲模)去除而餘數相等，則稱A、B對M同餘，記作：

       A＝B     (MOD M)

    具有同餘關係的兩個數爲互補關係，其中一個稱爲另一個的補碼。當M＝12時，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同餘的，它們互爲補碼。

    從同餘的概念和上述時鐘的例子，不難得出結論：對於某一確定的模，用某數減去小於模的另一個數，總可以用加上“模減去該數絕對值的差”來代替。因此，在有模運算中，減法就可以化作加法來做。

    可以看出，補碼的加法運算所依據的基本關係爲：

[x]補+ [y]補= [x+y]補

    補碼減法所依據的基本關係式：

[x-y]補 =[x+(-y)]補= [x]補+ [-y]補

    至於加法運算爲什麼比減法運算易於實現以及CPU如何實現各種算術運算等問題，則需要通過對數字電路的學習來理解CPU的運算器的硬件實現問題的相關內容了。