1、遍歷組合數的方法原理
組合數是高中代數的知識，這裏我就不廢話了。
這裏討論的是如何遍歷組合數。舉個例子，一個電影院裏面，有十個座位和8個客人，到底有多少種坐法？（不考慮客人之間的相互位置。）高中組合數的知識告訴我們答案是C = 10 * 9 / 1 * 2 = 45種。
多少種坐法現在我們知道了，現在我們來考慮另外一個變態一點的問題，能不能把45種坐法都羅列出來。
這裏給每個座位都編個號（假設第一個座位編號爲0），這樣就可以列舉一些可能的坐法出來:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 9
0 1 2 3 4 5 6 8 9
0 1 2 3 4 5 7 8 9
0 1 2 3 4 6 7 8 9
............
上面的例子來說，對於一般人來說可能還不是很困難，反正也就是45個而已嘛，一個個數總可以數出來。但如果改變題法，比如，50個座位坐5個客人，這樣的組合數就達到百萬級了，這樣的任務對於人來說就已經很困難。
因爲組合數的增長速度近似於是指數級的增長，所以靠人肉眼去數是絕對數不過來的，那靠計算機能否實現呢？當然能。不過這需要用到一些數學上面的小技巧。下面的定理給出了這種遍歷方法的數學原理。
定理1 設由n個正整數組成的整數集S裏，存在着一個固定長度l的有序數列A {
證明：證明該定理，核心是證明是否所有可能的組合情況都能通過序列A的形式表現出來。
（反證法）假設存在着一種整數組合B不滿足A的條件，現設
簡而言之，就是在整數集內任意取l個值，總能取出一個按序遞增（減）的數列。這聽起來像廢話，但結論卻很重要。這給出了一個在工程上遍歷所有組合情況的思路。
2、算法步驟
- 以由小（大）到大（小）的順序按最小步長依次初始化數組的各個元素。其中數組的第一個元素爲數集的最小（大）元素。
- 從數組最後一位開始加(減)最小步長
- 當最後一位遇到溢出（溢出的閥值由整數集的大小確定）時，向前（向後）進位。
- 若前（後）一位也繼續溢出時，繼續向前(後)進位，直至不再溢出，或已經溢出到最前一位，算法結束。
- 輸出數組的值，然後繼續執行2直至算法結束。
下面證明該算法能遍歷所有可能的整數組合。
證明：如果將數組看成是一個n進制數，那麼數組的每一位元素就相當於各個數位上的值。因爲初始化的時候是以從小到大的順序排列，且最高位爲數集中最小的數字S0。所以初始化時構造出的數值（假設爲Xmin）必定是最小的。現在按最小步長增加數組的數值，在數組長度有限和可取數字有限的情況下，必定能取遍(Xmin,Xmax)所有的數字組合。
現假設某個數字組合B不能透過上述算法取得，那麼這個數字組合對應的n進制數Vb要麼大於Xmax，要麼小於Xmin。
先考慮Vb < Xmin的情況，Vb < Xmin，意味着在Vb某個高位上存在着一個整數值v 小於Xmin對應位置的值。我們對數值上的所有位從高到低來進行討論（因爲如果低位數值大，但高位數值小，實際的數值也是比原來小）由於最高位數值已經是最小值，不能再小，所以，只能選擇次高位。但次高位除非取最小值S0，否則，無法達到比Xmin小的效果。但一旦取S0，組合B就不再是組合數，與原來的題設矛盾。同樣的討論可以繼續進行，對後面各位的討論會發現，除非取前面相同的數字，否則無法找到另外一個數能使Vb < Xmin。因此Vb 一定不小於Xmin.
再來討論Vb > Xmax的情況，由於討論最大值的情況也是相似，可以發現每一位，除非取後面相同的值，否則沒法達到Vb > Vmax的效果。
由此，可以明確地知道該算法的確能遍歷所有組合數。
3、遍歷算法的意義
由於組合數的增長是很可觀的，即便計算機硬件技術發展到今天，恐怕也沒有哪個程序會去求解所有排列組合情況。遍歷算法的意義在於，可以在不需要考慮所有排列組合的情況下，挑出心目中最滿意的組合。
還是舉上面那個例子，假設每個客人對座位的要求都是挑剔的，如果你是電影院的老闆，如果隨意給他們編座位，可能馬上就收到差評。但是也不可能羅列所有的情況讓他們自己去挑。因爲50個座位給5個人去挑就已經有差不多幾百萬種情況。因此可能的方案，是隨機挑其中的幾種給他們去選。但隨機取出來的東西，又不能重複，否則程序就會出現死循環。因此最好的方案，就是把每種情況變成一個數值，通過數值的變化，來實現方案的永不重複。（當然現實生活中，最好的方案，就是由客人自己去挑自己心儀的座位，而不是編好位讓他們去選。）
總括而言，遍歷算法的意義，在於對一些涉及到排列組合的問題上，能快速尋找到下一個組合情況，並能通過存儲組合的數字值來代替存儲組合本身，節省計算機資源。