帕塞瓦爾定理的應用

         頻域和像素域的能量守恆定理，非常有用，來源於維基百科。

    在數學中，帕塞瓦爾定理經常指“傅里葉轉換是幺正算符”這一結論；簡而言之，就是說函數平方的和（或積分）等於其傅里葉轉換式平方之和（或者積分）。這個定理產生於Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一個有關級數的定理，該定理隨後被應用於傅里葉級數。它也被稱爲瑞利能量定理或瑞利恆等式，以物理學家約翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。

雖說帕塞瓦爾定理這一術語常用來描述任何傅里葉轉換的幺正性，尤其是在物理學和工程學上，但這種屬性最一般的形式還是稱爲Plancherel theorem而不是帕塞瓦爾定理才更合適。

帕塞瓦爾定理的陳述

假定A(x)和B(x)都是平方可積的（參照勒貝格測度）複變函數，且定義在R上週期爲2π的區間上，分別寫成傅里葉級數的形式:

和

然後

這裏的i是虛數單位而上劃線（horizontal bars）表示複共軛運算。

More generally, given an abelian topological group G with Pontryagin dual G^, Parseval's theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.

物理學和工程學上使用的記號

在 物理學 和 工程學 中, 帕塞瓦爾定理通常描述如下:

其中爲 x(t) 的連續傅立葉變換（以歸一化酉形式），而f代表x的頻率分量（非角頻率）

帕塞瓦爾定理的此表達形式解釋了波形x(t)依時間域t累積的總能量與該波形的傅立葉變換X(f)在頻域域f累積的總能量相等。

對於離散時間信號，該理論表達式變換爲：

其中，X爲x的離散時間傅立葉變換(DTFT)，而Φ爲x的角頻率（度每樣本）。

此外，對於離散傅立葉變換 (DFT)，表達式變換爲：

其中，X[k]爲x[n]的DFT變換，變換前後樣本長度皆爲N。