01揹包
问题
n个物品重量为wi,价值为vi 从里面挑取总质量和<=W的物品,求最大的价值。
思路
枚举最后一个物品是否被选。 状态dp[i][j] 在前i个物品里面揹包大小为j下的最大价值。
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w[i]]+v[i])
完全揹包
问题
n种物品重量为wi,价值为vi 从里面挑取总质量和<=W的物品,求最大的价值。
思路
枚举最后一个物品被选择的数量
0→很大 。 dp[i][j]定义同上, 则
dp[i+1][j]=MAXk>=0(dp[i][j−k∗w[i]]+k∗v[i])
优化
试图消去k,这样的话就能消去一维
dp[i + 1][j]
= MAX_{k>=0}(dp[i][j - k * w[i]] + k * v[i])
= dp[i][j], MAX_{k>=1}(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i])
=dp[i][j], MAX_{k>=1}(dp[i][j-w[i]- (k-1) * w[i]] + k * v[i])
//t = k-1
=dp[i][j],MAX_{t>=0}(dp[i][j-w[i]-t*w[i]] + t*v[i]) + v[i]
=dp[i][j],dp[i + 1][j-w[i]] + v[i]