2010-08-08 13:16| 
33 Comments | 本文內容遵從數學常數最令人着迷的就是，它們常常出現在一些看似與之毫不相干的場合中。 隨便取一個 0 到 1 之間的數，再加上另一個 0 到 1 之間的隨機數，然後再加上一個 0 到 1 之間的隨機數⋯⋯直到和超過 1 爲止。一個有趣的問題：平均需要加多少次，才能讓和超過 1 呢？答案是 e 次。
爲了證明這一點，讓我們先來看一個更簡單的問題：任取兩個 0 到 1 之間的實數，它們的和小於 1 的概率有多大？容易想到，滿足
x+y<1 的點 (x, y) 佔據了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面積，因此這兩個實數之和小於 1 的概率就是 1/2
。類似地，三個數之和小於 1 的概率則是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在單位立方體中截得的一個三棱錐。這個 1/6
可以利用截面與底面的相似比關係，通過簡單的積分求得：
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6
可以想到，四個 0 到 1 之間的隨機數之和小於 1 的概率就等於四維立方體一角的“體積”，它的“底面”是一個體積爲 1/6 的三維體，在第四維上對其進行積分便可得到其“體積”
∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
依此類推， n 個隨機數之和不超過 1 的概率就是 1/n! ，反過來 n 個數之和大於 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 個數纔剛好超過 1 的概率就是
(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
因此，要想讓和超過 1 ，需要累加的期望次數爲
∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e
來源：http://www.mostlymaths.net/2010/08/and-e-appears-from-nowhere.html