線段樹

線段樹

本文總結自己學習線段樹的一些知識點。我最初是通過區間最值查詢問題學習到線段樹，查詢一個區間的最值可以使用RMQ離線算法，該離線算法需要O(nlgn)的預處理時間和O(1)的查詢時間。但是一個區間的某個值修改後，又需要重新計算，對於區間的值頻繁的修改的情況，RMQ離線算法並不合適。

線段樹確是可以針對區間的值頻繁的修改的情況作出應對。線段樹是用O(lgn)的時間處理修改，用O(lgn)的時間進行區間最值查詢，相對RMQ離線算法來講是一種折中。

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定義

先來看一下百度百科的定義…:

線段樹是一種二叉搜索樹，與區間樹相似，它將一個區間劃分成一些單元區間，每個單元區間對應線段樹中的一個葉結點。

對於線段樹中的每一個非葉子節點[a,b]，它的左兒子表示的區間爲[a,(a+b)/2]，右兒子表示的區間爲[(a+b)/2+1,b]。因此線段樹是平衡二叉樹，最後的子節點數目爲N，即整個線段區間的長度。

下面就是一個簡單的線段樹的結構（摘自網絡）

給定10個元素的值，按照其順序最終構成了線段樹的10個葉子節點。根節點表示區間[1,10]的最值；假設我們要初始化確定區間[1,5]的最小值，（1+5）/2 =3 那麼分爲以下幾步：

• 確定其左半邊區間[1,3]的最小值

• 確定其右半邊的[4,5]的最小值

• 取[1,3]區間和[4,5]區間的之中的最小值

區間[1.3]和區間[4,5]可以遞歸的操作下去，那麼構建一個線段樹的時間複雜度爲O(N)（可自行計算）

此外，對於每個查詢操作都可以在O(lgN)（樹的高度）時間內完成；同理修改某個值後影響的區間數目也是在O(lgN)量級。

線段樹的操作

線段樹構建

線段樹的構建需要O(N)的時間，構建之後未優化的樹的空間複雜度是2N. 構建的過程用遞歸實現較容易理解，對於一個區間節點，構建好左區間兒子和右區間兒子之後，將該區間的最值設定爲min(tree[lson].s,tree[rson].s)。代碼如下：

struct TreeNode{//線段樹節點
    int l, r;
    int s;//區間最值
}tree[max*2];

int a[max];//對應區間裏面每個元素的值

void bulidSegTree(int i,int left ,int right)
{
    tree[i].l =left;
    tree[i].r = right;
    if(left == right)
    {
        tree[i].s = a[left];
        return;
    }
    int mid = left+(right-left)/2;
    bulidSegTree(lson,left,mid);
    bulidSegTree(rson,mid+1,right);

    tree[i].s = min(tree[lson].s,tree[rson].s);
}

查詢

要查詢一個區間[a,b]的最值，我們首先要從線段樹的根節點開始查詢，若根節點的表示的區間爲[l,r]（一開始l<=a<=b<=r）。那麼需要判斷[a,b]是落在[l,r]的哪個區間當中，mid= l+（l-r）/2，有三種情況：

• [a,b]落在了[l,r]左邊，那麼我們只需要在該節點的左子樹中查找對應[a,b]區間的最值
• [a,b]落在了[l,r]右邊，那麼我們只需要在該節點的右子樹中查找對應[a,b]區間的最值
• [a,b]橫跨了[l,r]的左右兩半邊，因此要取區間[a,mid]和[mid+1,b]兩個最小值中的最小值

同時根據平衡二叉樹的性質，我們可以通過節點的下標i，迅速定位到其左孩子和右孩子的下標：
lson = i*2（等價於i<<1）
rson = i*2+1(等價於i<<1|1)

代碼如下：

#define lson (i<<1)
#define rson (i<<1|1)

//查詢區間的最值
int Query(int l, int r, int i) 
{
    if( l==tree[i].l && r== tree[i].r ) return tree[i].s;

    int mid = tree[i].l +(tree[i].r-tree[i].l)/2;

    if(mid<l)
        return Query(l, r, rson);//在右半邊
    else if(mid>=r)
        return Query(l,r,lson);//在左半邊
    else
        return min(Query(l, mid, lson), query(mid+1, r, rson));
}

線段樹的查詢區間總是在減小的，並且查詢的深度等同於樹的高度，因此線段樹的查詢時間複雜度爲O(lgN).

修改

假設我們修改了某個葉子節點的值，我們只需要把該的節點的所有祖先節點的應對最值進行修改，時間複雜度是O(lgN)，這事相對於RMQ離線算法的一大優勢。思路大致和查詢一致，判斷要改的點區間是落在當前的左半邊還是右半邊，遞歸的修改完子樹節點的值之後，再更新當前節點最值。
修改代碼如下：

/**
*l代表要修改元素的下標（對應於某一個葉子節點）
*num是要被設定的新的值
*i表示當前的線段樹節點的下標
*/
void modify(int l, int num, int i)
{
    if(l == tree[i].l && l == tree[i].r) {
          tree[i].s = num;
          return;
     }
     int mid = tree[i].l +(tree[i].r-tree[i].l)/2;
     if(mid < l) {
          modify(l, r, num, rson);
     }
     else {
          modify(l, r, num, lson);     
     }

     tree[i].s = min(tree[lson].s,tree[rson].s);
}

總結

本文簡單介紹了線段樹以及線段樹的基本操作，希望自己以後常回顧，不斷鞏固線段樹的知識，並期待加以應用。