題目：
有 N 件物品和一個容量爲 V 的揹包。第 i 件物品的費用是 w[i]，價值是 p[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
本文按照動態規劃的標準模式解析：http://blog.csdn.net/hearthougan/article/details/53749841
0-1揹包問題，表示的是每個物品只有一件，每件物品不能分割，在不超過揹包容量的同時，如何選取物品，使得揹包所裝的價值最大（揹包可以裝不滿）。這是一個經典的動態規劃問題，有《揹包九講》珠玉在前，我所能做的也只是按自己的理解，加以分析這個問題。如果需要《揹包九講》請點擊：
http://download.csdn.net/detail/hearthougan/5891267
不妨設集合
1、最優子結構
我們已經假設該問題的最優解爲A，那麼對於某個物品
2、遞歸地定義最優解的值
對於每個物品我們可以有兩個選擇，放入揹包，或者不放入，有n個物品，故而我們需要做出n個選擇，於是我們設f[i][v]表示做出第i次選擇後，所選物品放入一個容量爲v的揹包獲得的最大價值。現在我們來找出遞推公式，對於第i件物品，有兩種選擇，放或者不放。
<1>:如果放入第i件物品，則f[i][v] = f[i-1][v-w[i]]+p[i],表示，前i-1次選擇後所選物品放入容量爲v-w[i]的揹包所獲得最大價值爲f[i-1][v-w[i]]，加上當前所選的第i個物品的價值p[i]即爲f[i][v]。
<2>:如果不放入第i件物品，則有f[i][v] = f[i-1][v],表示當不選第i件物品時，f[i][v]就轉化爲前i-1次選擇後所選物品佔容量爲v時的最大價值f[i-1][v]。則:
f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+p[i]}
3、求解最優值
我們根據2的遞推公式，可以實現代碼如下：
- using namespace std;
- const int MAXN = 100;
- int main()
- {
- int n, V;
- int f[MAXN][MAXN];
- int w[MAXN], p[MAXN];
- while(cin>>n>>V)
- {
- if(n == 0 && V == 0)
- break;
- for(int i = 0; i <= n; ++i)
- {
- w[i] = 0, p[i] = 0;
- for(int j = 0; j <= n; ++j)
- {
- f[i][j] = 0;
- }
- }
- for(int i = 1; i <= n; ++i)
- cin>>w[i]>>p[i];
- for(int i = 1; i <= n; ++i)
- {
- for(int v = w[i]; v <= V; ++v)
- {
- f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+p[i]);
- }
- }
- cout<<f[n][V]<<endl;
- }
- return 0;
- }
由於我們用f[n][V]表示最大價值，但是當物品和揹包容量比較大時，這種用法會佔用大量的空間，那麼我們是不是對此可以進一步優化呢？
現在考慮如果我們只用一位數組f[v]來表示f[i][v]，是不是同樣可以達到效果？我們由上述可知f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]這兩個子問題推得，事實上第i次選擇時，我們雖用到前i-1次的最優結果，但是前i-1次選擇的最優結果，已經保存在做出第i-1次選擇後的結果中，即第i次的結果只用到了第i-1次選擇後的狀態，因此我們可以只用一維數組來維持每次選擇的結果，怎麼維持？也就是當第i次選擇時，我們怎麼得到f[i-1][v]和f[i-1][v-w[j]]這兩種狀態，即第i次求f[v]時，此時f[v]和f[v-w[i]]表示的是不是f[i-1][v]和f[i-1][v-w[j]]，事實上我們只需要將內層循環變爲從V到w[j]的逆向循環即可滿足要求。這句話不是很好理解，我們先給出優化後的代碼，然後由圖表來慢慢分析。
- using namespace std;
- const int MAXN = 100;
- int main()
- {
- int n, V;
- int f[MAXN];
- int w[MAXN], p[MAXN];
- while(cin>>n>>V)
- {
- if(n == 0 && V == 0)
- break;
- memset(f, 0, sizeof(f));
- memset(w, 0, sizeof(w));
- memset(p, 0, sizeof(p));
- for(int i = 1; i <= n; ++i)
- cin>>w[i]>>p[i];
- for(int i = 1; i <= n; ++i)
- {
- for(int v = V; v >= w[i]; --v)
- {
- f[v] = max(f[v], f[v-w[i]]+p[i]);
- }
- }
- cout<<f[V]<<endl;
- }
- return 0;
- }
第1次主循環，即當i = 1時，我們只對物品1進行選擇，對於內層循環，即當v = 10....3時，我們有：
f[10] = max{f[10], f[10-3]+p[1]} = max{f[10], f[7]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[9] = max{f[9], f[9-3]+p[1]} = max{f[9], f[6]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[8] =max{f[8], f[8-3]+p[1]} = max{f[8], f[5]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[7] = max{f[7], f[7-3]+p[1]} = max{f[7], f[4]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[6] = max{f[6], f[6-3]+p[1]} = max{f[6], f[3]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[5] = max{f[5], f[5-3]+p[1]} = max{f[5], f[2]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[4] = max{f[4], f[4-3]+p[1]} = max{f[4], f[1]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[3] = max{f[3], f[3-3]+p[1]} = max{f[3], f[0]+4} = max{0, 0+4} = 4;
f[2] = f[1] = f[0] = 0;
其中f[2] = f[1] = f[0] = 0，是因爲體積爲3的物品，根本不會影響當揹包容量爲2、1、0時的狀態。所以他們依舊保持原來的狀態。對應於：
表中橫軸的藍色區域，表示當容量爲v時，對第1個商品做出選擇時所依賴的上一層的狀態，如當v=10時，所依賴的就是f[0][10]和f[0][7]兩個狀態。所以當計算f[1][v]（v = 10....3）時，f[v]和[v-3]保存的就是f[0][v]和f[0][v-3]。
第2次循環，即i = 2時，我們對物品2做出選擇：
f[10] = max{f[10], f[10-4]+p[2]} = max{f[10], f[6]+p[2]} = max{4, 4+5} = 9
f[9] = max{f[9], f[9-4]+p[2]} = max{f[9], f[5]+p[2]} = max{4, 4+5} = 9
f[8] = max{f[8], f[8-4]+p[2]} = max{f[8], f[4]+p[2]} = max{4, 4+5} = 9
f[7] = max{f[7], f[7-4]+p[2]} = max{f[7], f[3]+p[2]} = max{4, 4+5} = 9
f[6] = max{f[6], f[6-4]+p[2]} = max{f[6], f[2]+p[2]} = max{4, 0+5} = 5
f[5] = max{f[5], f[5-4]+p[2]} = max{f[5], f[1]+p[2]} = max{4, 0+5} = 5
f[4] = max{f[4], f[4-4]+p[2]} = max{f[4], f[0]+p[2]} = max{4, 0+5} = 5
f[3] = 4
f[2] = f[1] = f[0] = 0;
第3次循環，即當i = 3時
f[10] = max{f[10], f[10-5]+p[3]} = max{f[10], f[5]+3} = max{9, 5+6} = 11
f[9] = max{f[9], f[9-5]+p[3]} = max{f[9], f[4]+3} = max{9, 5+6} = 11
f[8] = max{f[8], f[8-5]+p[3]} = max{f[8], f[3]+3} = max{9, 4+6} = 10
f[7] = max{f[7], f[7-5]+p[3]} = max{f[7], f[2]+3} = max{9, 0+6} = 9
f[6] = max{f[6], f[6-5]+p[3]} = max{f[6], f[1]+3} = max{5, 0+6} = 6
f[5] = max{f[5], f[5-5]+p[3]} = max{f[5], f[0]+3} = max{5, 0+6} = 6
f[4] = 5
f[3] = 4
f[2] = f[1] = f[0]
對於應表：
綜上的步驟我們可以很清楚的知道v從大到小循環可以滿足題意，從表中我們也可以知道，我們如用f[i][v]存儲最優結果，有很多沒用的求解結果也被保存下來，從而浪費了大量的空間。如果我們用f[v]，那麼保存的就是最終結果，且很好地利用了空間。
如果還是疑問爲什麼v從小到大的順序不可以（即內循環爲：for(int v = w[i]; v <= V; ++v)），我們依舊可以按着代碼，試着畫一下表，一次，就很清楚了，比如同樣的問題，正着走一次爲：
當i=1時：
f[0] = f[1] = f[2] = 0
f[3] = max{f[3], f[3-3]+p[1]} = max{0, 0+4} = 4
f[4] = max{f[4], f[4-3]+p[1]} = max{0, 0+4} = 4
f[5] = max{f[5], f[5-3]+p[1]} = max{0, 0+4} = 4
以上結果貌似是對的，但是意思已經完全不是我們當初設計代碼時的思想了，注意下面：
f[6] = max{f[6], f[6-3]+p[1]} = max{0. 4+4} = 8//此時我們用的f[6]和f[3]相當於是f[1][6]和f[1][3]，而不是f[0][6]和f[0][3]！
f[7] = max{f[7], f[7-3]+p[1]} = max{0, 4+4} = 8
f[8] = max{f[8], f[8-3]+p[1]} = max{0, 4+4} = 8
f[9] = max{f[9], f[9-3]+p[1]} = max{0, 8+4} = 12
f[10] = max{f[10], f[10-3]+p[1]} = max{0, 8+4} = 12
到此，我們清楚了爲什麼正向循環爲何不可，因爲此時f[v]保存的相當於是f[i][v]和f[i][v-w[i]]，這已經違背了我們意圖！