模擬頻率與數字頻率
在數字信號處理的學習中，很多剛入門朋友常常爲模擬頻率、數字頻率及其相互之間的關係所迷惑，甚至是一些已經對數字信號處理有所瞭解的朋友也爲這個問題所困惑。
我們通常所說的頻率，在沒有特別指明的情況下，指的是模擬頻率，其單位爲赫茲(Hz)，或者爲1/秒(1/s)，數學符號用f來表示。這是因爲現實世界中的信號大多爲模擬信號，頻率是其重要的物理特性。以赫茲表示的模擬頻率表示的是每秒時間內信號變化的週期數。如果用單位圓表示的話，如圖1所示，旋轉一圈表示信號變化一個週期，則模擬頻率則指的是每秒時間內信號旋轉的圈數。
圖1 數字頻率與模擬頻率
模擬頻率中還有一個概念是模擬角頻率，數學符號常用Ω來表示，其單位爲弧度/秒(rad/s)。從單位圓的角度看，模擬頻率是每秒時間內信號旋轉的圈數，每一圈的角度變化數爲2pi。很顯然，旋轉f圈對應着2pi*f的弧度。即：
Ω=2pi*f(rad/s) (1)
數字信號大多是從模擬信號採樣而得，採樣頻率通常用fs表示。數字頻率更準確的叫法應該是歸一化數字角頻率，其單位爲弧度(rad)，數學符號常用ω表示。即：
ω=2pi*f/fs(rad) (2)
其物理意義是相鄰兩個採樣點之間所變化的弧度數，如圖1所示。
有了公式(1)和(2)，我們就可以在模擬頻率與數字頻率之間隨意切換。假定有一個正弦信號x[n]，其頻率f=100Hz，幅度爲A，初始相位爲0，則這個信號用公式可以表示爲：
x(t) =A*sin(2*pi*100*t)
用採樣頻率fs=500Hz對其進行採樣，得到的數字信號x[n]爲：
x[n] =A*sin(2*pi*100*n/fs)= A*sin(0.4*pi*n)
很明顯，這個數字信號的頻率爲0.4pi。
由上述討論可知，對應兩個數字頻率完全相同的信號，其模擬頻率未必相同，因爲這裏還要考慮採樣頻率。這種歸一化爲處理帶來了方便，帶也給理解帶來了困惑。在數字信號中，雖然經常不顯式地出現採樣頻率，但它卻是架起模擬信號與數字信號的橋樑，對信號處理的過程有舉足輕重的影響。