本文是《Neural networks and deep learning》概覽 中第三章的一部分，講machine learning算法中用得很多的交叉熵代價函數。
1.從方差代價函數說起
代價函數經常用方差代價函數（即採用均方誤差MSE），比如對於一個神經元（單輸入單輸出，sigmoid函數）,定義其代價函數爲：
其中y是我們期望的輸出，a爲神經元的實際輸出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。
在訓練神經網絡過程中，我們通過梯度下降算法來更新w和b，因此需要計算代價函數對w和b的導數：
然後更新w、b：
w <—— w - η* ∂C/∂w = w - η * a *σ′(z)
b <—— b - η* ∂C/∂b = b - η * a * σ′(z)
因爲sigmoid函數的性質，導致σ′(z)在z取大部分值時會很小（如下圖標出來的兩端，幾近於平坦），這樣會使得w和b更新非常慢（因爲η * a * σ′(z)這一項接近於0）。
2.交叉熵代價函數（cross-entropy cost function）
爲了克服這個缺點，引入了交叉熵代價函數（下面的公式對應一個神經元，多輸入單輸出）：
其中y爲期望的輸出，a爲神經元實際輸出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】
與方差代價函數一樣，交叉熵代價函數同樣有兩個性質：
- 非負性。（所以我們的目標就是最小化代價函數）
- 當真實輸出a與期望輸出y接近的時候，代價函數接近於0.(比如y=0，a～0；y=1，a~1時，代價函數都接近0)。
另外，它可以克服方差代價函數更新權重過慢的問題。我們同樣看看它的導數：
可以看到，導數中沒有σ′(z)這一項，權重的更新是受σ(z)−y這一項影響，即受誤差的影響。所以當誤差大的時候，權重更新就快，當誤差小的時候，權重的更新就慢。這是一個很好的性質。
3.總結
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當我們用sigmoid函數作爲神經元的激活函數時，最好使用交叉熵代價函數來替代方差代價函數，以避免訓練過程太慢。
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不過，你也許會問，爲什麼是交叉熵函數？導數中不帶σ′(z)項的函數有無數種，怎麼就想到用交叉熵函數？這自然是有來頭的，更深入的討論就不寫了，少年請自行了解。
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另外，交叉熵函數的形式是−[ylna+(1−y)ln(1−a)]而不是 −[alny+(1−a)ln(1−y)]，爲什麼？因爲當期望輸出的y=0時，lny沒有意義；當期望y=1時，ln(1-y)沒有意義。而因爲a是sigmoid函數的實際輸出，永遠不會等於0或1，只會無限接近於0或者1，因此不存在這個問題。
4.還要說說：log-likelihood cost
對數似然函數也常用來作爲softmax迴歸的代價函數，在上面的討論中，我們最後一層（也就是輸出）是通過sigmoid函數，因此採用了交叉熵代價函數。而深度學習中更普遍的做法是將softmax作爲最後一層，此時常用的是代價函數是log-likelihood cost。
In fact, it’s useful to think of a softmax output layer with log-likelihood cost as being quite similar to a sigmoid output layer with cross-entropy cost。
其實這兩者是一致的，logistic迴歸用的就是sigmoid函數，softmax迴歸是logistic迴歸的多類別推廣。log-likelihood代價函數在二類別時就可以化簡爲交叉熵代價函數的形式。具體可以參考UFLDL教程
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