求僞逆的三種方法：直接，SVD，QR

求僞逆的三種方法：直接，SVD，QR - [專業理論]

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① 直接求解：

求導，令導數爲0，結果如下: InvA=(A^TA)^-1A^T

 % 直接求僞逆

 InvA = inv(A'*A)*A';

 

② SVD求解

%% SVD分解求僞逆

% 原理和公式：1. SVD分解得到的矩陣:U和V是正交陣，S是對角陣

%            2. 正交陣的逆=轉置

%            3. 對角陣的逆=非零元素求倒

% Step1: 求解A的SVD分解

 [U,S,V] = svd(A); % A = U*S*V'

% Step2: 將S中的非零元素求倒

 T=S;

 T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));

% Step3: 求invA

svdInvA = V * T' * U';

 

③ QR求解

%% QR分解求僞逆

% 適用於稀疏矩陣

% 原理和公式：1. QR分解得到的矩陣:Q是正交陣，R是非奇異上三角陣

%            2. 正交陣的逆=轉置

%            3. 上（下）三角矩陣的逆也仍然是上（下）三角矩陣。不必用高斯消去法，向前替換法解方程。

%               但是具體的我不知道怎麼用程序來寫，這裏仍舊用了matlab的函數。

[Q,R] = qr(A);

InvR =  inv(R'*R)*R';

qrInvA =InvR*Q';

 

PS: 矩陣中非零元素的個數遠遠小於矩陣元素的總數，並且非零元素的分佈沒有規律，則稱該矩陣爲稀疏矩陣(sparse matrix)