斐波那契數列

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大家在高中學習數學的時候，也許都接觸過 斐波那契 數列：

1，1，2，3，5，8......

也就是說，除了第一個和第二個元素外，後面的元素的值均爲其前兩個元素值的和。但在我印象中，老師從來沒有介紹過這個數列的通項公式(即一個數學表達式能清晰的表達出它的規律)。到了大學的時候，作爲電子或者計算機相關學科的同學們，會學習C語言的相關知識，那個時候，典型的編程題，也會拿 斐波那契 數列舉例。

首先，我們可以根據斐波那契數列的規律，得出它的推導公式：

然後，我們根據推導公式，很容易用C語言實現其算法

int result(int index) {
    if (index == 1 || index == 2) {
        return 1;
    }
    return result(index - 1) + result(index - 2);
}

緊接着的工作就是調用即可：

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    clock_t start = clock();
    printf("%d\n", result(45));
    clock_t end = clock();
    
    double duration = (double)(end - start);
    printf( "%f seconds\n", duration / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}

我們可以嘗試傳入不同的數值，便可以得到相應的結果。但是如上例中，當我嘗試得到 斐波那契 數列的第45個位置的值時，耗時很久； 那是因爲以上算法，採用的是遞歸算法；效率低下。 打印結果如下：

從上面的推導公式，可以看出來，我們並沒有得到Fn關於n的函數，即通項公式。 上面只是利用計算機強行進行計算；但我們可以從數學的角度進一步分析 斐波那契 數列，即嘗試得到它的通項公式！！！

一、 我們假設數列的生成函數如下：

其中 F1, F2, F3, F4... 就是斐波那契數列的值， 這裏爲1，1，2，3...

二、 將上面式子分別乘以 x 和 x的平方，結果如下：‘

三、 將上面式子，第一個 + 第二個 - 第三個

得到左邊的結果：’

得到右邊的結果：

而根據文章一開頭的推導公式，我們知道 從 x的三次方之後， 其係數結果均爲0， 所有右邊的最終結果就是 -F1*x, 而F1的值是1， 所有右邊的結果就是 -x.

綜上所述，我們可以得到 斐波那契 數列的生成函數：

四、 根據高中知識，我們可以知道，多次表達式的分數形式可以轉化爲低次表示式的和的形式

進一步可以得到：

然後將結果帶入公式，去除掉 R 和 S，可得：

五、 級數展開公式

根據大學級數公式，我們可知：

帶入第四步中的公式可得：

於是，我們得到了 斐波那契 數列的通項公式爲：

而 r 與 s又滿足條件：

所以可以計算得出：

因爲，我們最終可以得出 斐波那契 數列的通項公式爲：

此時，我們使用C語言重新實現，代碼如下：

int result2(int index) {
    return (int)(((pow((1 + sqrt(5.0)) / 2, index) - pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, index)) / sqrt(5.0)));
}

然後觀察打印結果：

可以看出，計算結果一直，但是運行時間卻快了六萬多倍。。。

從這裏，我們可以看出，在實現編程的時候，可以首先考慮利用數學方法優化程序設計或者計算！！！！