先說說兩個東西產生的背景。兩個東西都是技術手段，
nat：最本質的目的，是爲了解決ip地址稀少的問題而誕生的。它使得若干個私有地址能夠共用一個合法internet地址成爲可能。並且，他把內部地址隱藏起來，具有安全性。
路由：它是一種構架的邏輯，使得不分私有公有的地址能夠知道信息的路徑如何走。以及通過協議，使得較大的網絡能夠自動學習網絡，特別是網絡節點，路經的變化，從而減少管理成本，提高效率。它只是一種信息傳輸路徑走向的算法。
最重要的一點：
私有地址不能被公網識別！！！也就是說，在全球internet上，大家能看到的信息，服務的接口，都必須是公網地址，而不可能是internet地址。
所以，nat的存在就是把內部地址轉化爲公網地址，以便讓所有內部計算機能夠訪問出去，至於路由，只是他們訪問的路徑問題，比如：
1個計算機想訪問51cto，那麼，先是他的路由器進行nat服務，把它的內部ip翻譯給公網ip，告訴公網ip，這是我們裏面的一個地址，是允許翻譯給你的，然後公網ip的運營商接入就會按照既定的路由，一級一級路由到骨幹或者其他網絡，最後，到達51cto。
lz產生混淆的地方我認爲是這樣的，就是你說：“我對路由的理解，幾乎和上面的差不多。路由通過modem獲得一個公網的合法IP地址，然後局域網內的PC擁有局域網的IP，比如192.168.0.2。但是通過路由卻可以訪問Internet的資源。我可不可以理解路由已經把私網的IP轉換成爲了一個公網的IP的去訪問Internet的資源?我們可以看到在訪問很多網站的時候，它都顯示說你使用得是10.10.10.10（公網IP）進行訪問。
都是將私網的IP轉換成爲公網的IP去訪問公網的資源，那麼到底有什麼不同？”
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首先是翻譯，其次纔是路由。只是因爲現在很多所謂家庭版或者便捷版那種路由器，集撥號，dhcp，路由，外加nat於一身，使得lz沒有分清過程。
之所以撥號，是因爲接入方式限制，而非nat或者路由本身。因爲一個adsl用戶是沒有辦法，也沒有權利規定自己每一次進入internet的公網地址的，撥號只是爲了獲得一個臨時佔用的internet地址，lz明白不？這一步，和nat與路由無關。而所有的內網能訪問internet，是因爲這種路由器，設置之後，默認都是nat，也就是說允許內網全部轉換給wan口臨時獲得的internet ip。而路由路徑，在這種最簡單的內網中其實幾乎不存在了（除了知道當作廣播網關，並把訪問請求兌現爲nat），因爲只要訪問internet，就會nat，nat到了外面，去往各種網站，資源的路由是運營商，各種服務商規定的，或者路由器之間動態學習的，不是你能控制的。這就是撥號----nat----路由出去的整個過程。
其實lz有機會可以這樣，不用撥號的，找你們公司或朋友那，有那種企業光纖接入的，有固定internet ip或者ip段的，你把你的機器連上光轉換器，直接就能訪問internet了。這裏就沒有內部路由器的nat了，但是路由還是存在於你對網絡資源的訪問中的。
再比如：如果lz看下圖，這需要nat還是路由呢？這兩個計算機終端在兩個不同的網絡裏，都在公司局域網環境下，並且都是內部計算機，那麼兩個pc要實現互相訪問，需要nat麼？
當然不需要，因爲都是內網地址，只需要設置4個不同網絡段實現3個路由器的跳，就可以實現了。因爲沒有公私地址轉換。
但是如果pc1改成internet呢？
那麼router0，1，加上pc0，是存在三個網絡段的，他們之間，是路由關係，沒有nat，但是到了第三網段的router2時候，router2不僅僅要明白路由從router1而來，還要nat到internet。因爲有公私地址轉換：）
總結：
nat：多私有轉化1公有提供公網訪問，掩蓋自身私有網絡，同時節省資源
路由，無論公有私有，都存在，但是私有不能和公有直接路由，不能被識別，因此需要nat。路由只是路徑算法，他不對nat負責。相反nat也不對路由負責。