一个字符串S,去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列,该子序列在两个序列中以相同的顺序出现,但是不必要是连续的。
例如序列X=ABCBDAB,Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列,但是不是X和Y的最长公共子序列,子
序列BCBA是X和Y的一个LCS,序列BDAB也是。寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列,然后注意检查是否是Y的子序
列,并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素,则X有2^m个子序列,指数级的时间,对长序列不实际。
使用动态规划求解这个问题,先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列,
LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列,可以看出
1、如果xm=yn,则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。
2、如果xm!=yn,则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }
LCS问题也具有重叠子问题性质:为找出X和Y的一个LCS,可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个
LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS,等等.DP最终处理的还是数值(极值做最优解),找到了最
优值,就找到了最优方案;为了找到最长的LCS,我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度,合法状态的初始值为当序列
X的长度为0或Y的长度为0,公共子序列LCS长度为0,即dp[i][j]=0,所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长
度,状态转移方程为
- dp[i][j] = 0 如果i=0或j=0
- dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 如果X[i-1] = Y[i-1]
- dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] } 如果X[i-1] != Y[i-1]
求出了最长公共子序列的长度后,输出LCS就是输出dp的最优方案了,既可以用一个额外的矩阵存储路径,也可以直
接根据状态转移矩阵倒推最优方案。代码如下:
import java.util.Random;
/*
* 最长公共子序列
*/
public class LCS{
char[][] b;
int[][] c;
public static void main(String[] args){
//设置字符串长度
int substringLength1 = 10;
int substringLength2 = 15; //具体大小可自行设置
// 随机生成字符串
String x = GetRandomStrings(substringLength1);
String y = GetRandomStrings(substringLength2);
Long startTime = System.nanoTime();
// 构造二维数组记录子问题x[i]和y[i]的LCS的长度
System.out.println("substring1:"+x);
System.out.println("substring2:"+y);
x=" "+x;
y=" "+y;
LCS lcs=new LCS();
lcs.lcsLength(x, y);
lcs.printLcs(x, x.length()-1, y.length()-1);
}
public void lcsLength(String x,String y){
int m=x.length();
int n=y.length();
b=new char[m][n];
c=new int[m+1][n+1];
for(int i=1;i<m+1;i++){
c[i][0]=0;
}
for(int i=0;i<m+1;i++){
c[0][i]=0;
}
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
if(x.charAt(i)==y.charAt(j)){
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]='m';
}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]='t';
}else {
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]='r';
}
}
}
}
public void printLcs(String x,int i,int j){
if(i==0||j==0)
return;
if(b[i][j]=='m'){
printLcs(x, i-1, j-1);
System.out.print(x.charAt(i));
}else if(b[i][j]=='t')
printLcs(x, i-1, j);
else
printLcs(x, i, j-1);
}
//取得定长随机字符串
public static String GetRandomStrings(int length){
StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");
StringBuffer sb = new StringBuffer();
Random r = new Random();
int range = buffer.length();
for (int i = 0; i < length; i++){
sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));
}
return sb.toString();
}
}