B樹的插入和刪除
寫這篇文章之前一直認爲B數和B-樹是兩種不同的樹，實際上B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思。因爲B樹的原英文名稱爲B-tree，而很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實，這是個非常不好的直譯，很容易讓人產生誤解。如人們可能會以爲B-樹是一種樹，而B樹又是另一種樹。而事實上是，B-tree就是指的B樹。
一棵m階B樹(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索樹。它或者是空樹，或者是滿足下列性質的樹：
1、根結點至少有兩個子女；
2、每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；
3、除根結點以外的所有結點（不包括葉子結點）的度數正好是關鍵字總數加1，故內部子樹個數 k 滿足：┌m/2┐ <= k <= m ；
4、所有的葉子結點都位於同一層。
在B-樹中，每個結點中關鍵字從小到大排列，並且當該結點的孩子是非葉子結點時，該k-1個關鍵字正好是k個孩子包含的關鍵字的值域的分劃。
因爲葉子結點不包含關鍵字，所以可以把葉子結點看成在樹裏實際上並不存在外部結點，指向這些外部結點的指針爲空，葉子結點的數目正好等於樹中所包含的關鍵字總個數加1。
B-樹中的一個包含n個關鍵字，n+1個指針的結點的一般形式爲： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn），其中，Ki爲關鍵字，K1<K2<…<Kn,Pi是指向包括Ki到Ki+1之間的關鍵字的子樹指針
那好！下面咱們以一棵5階（即樹中任一結點至多含有4個關鍵字，5棵子樹）B樹實例進行插入刪除操作講解(如下圖所示)：
插入（insert）操作
插入一個元素時，首先在B樹中是否存在，如果不存在，即在葉子結點處結束，然後在葉子結點中插入該新的元素，注意：如果葉子結點空間足夠，這裏需要向右移動該葉子結點中大於新插入關鍵字的元素，如果空間滿了以致沒有足夠的空間去添加新的元素，則將該結點進行“分裂”，將一半數量的關鍵字元素分裂到新的其相鄰右結點中，中間關鍵字元素上移到父結點中（當然，如果父結點空間滿了，也同樣需要“分裂”操作），而且當結點中關鍵元素向右移動了，相關的指針也需要向右移。如果在根結點插入新元素，空間滿了，則進行分裂操作，這樣原來的根結點中的中間關鍵字元素向上移動到新的根結點中，因此導致樹的高度增加一層。如下圖所示：
1、OK，下面咱們通過一個實例來逐步講解下。插入以下字符字母到一棵空的B 樹中（非根結點關鍵字數小了（小於2個）就合併，大了（超過4個）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，結點空間足夠，4個字母插入相同的結點中，如下圖：
2、當咱們試着插入H時，結點發現空間不夠，以致將其分裂成2個結點，移動中間元素G上移到新的根結點中，在實現過程中，咱們把A和C留在當前結點中，而H和N放置新的其右鄰居結點中。如下圖：
3、當咱們插入E,K,Q時，不需要任何分裂操作。 如圖：
4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中間關鍵字元素，以致向上移到父節點中。如圖：
5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作。如圖：
6、插入Z時，最右的葉子結點空間滿了，需要進行分裂操作，中間元素T上移到父節點中，注意通過上移中間元素，樹最終還是保持平衡，分裂結果的結點存在2個關鍵字元素。如圖：
7、插入D時，導致最左邊的葉子結點被分裂，D恰好也是中間元素，上移到父節點中，然後字母P,R,X,Y陸續插入不需要任何分裂操作（別忘了，樹中至多5個孩子）。如圖：
8、最後，當插入S時，含有N,P,Q,R的結點需要分裂，把中間元素Q上移到父節點中，但是情況來了，父節點中空間已經滿了，所以也要進行分裂，將父節點中的中間元素M上移到新形成的根結點中，注意以前在父節點中的第三個指針在修改後包括D和G節點中。這樣具體插入操作的完成，下面介紹刪除操作，刪除操作相對於插入操作要考慮的情況多點。如圖：
刪除(delete)操作
（1）刪除操作的兩個步驟
第一步驟：在樹中查找被刪關鍵字K所在的地點
第二步驟：進行刪去K的操作
（2）刪去K的操作
B-樹是二叉排序樹的推廣，中序遍歷B-樹同樣可得到關鍵字的有序序列。任一關鍵字K的中序前趨(後繼)必是K的左子樹(右子樹)中最右(左)下的結點中最後(最前)一個關鍵字。
若被刪關鍵字K所在的結點非樹葉，則用K的中序前趨(或後繼)K'取代K，然後從葉子中刪去K'。從葉子*x開始刪去某關鍵字K的三種情形爲：
情形一：若x->keynum>Min，則只需刪去K及其右指針(*x是葉子，K的右指針爲空)即可使刪除操作結束。
注意： Min=【M/2】-1
情形二：若x->keynum=Min，該葉子中的關鍵字個數已是最小值，刪K及其右指針後會破壞B-樹的性質(3)。若*x的左(或右)鄰兄弟結點*y中的關鍵字數目大於Min，則將*y中的最大(或最小)關鍵字上移至雙親結點*parent中，而將*parent中相應的關鍵字下移至x中。顯然這種移動使得雙親中關鍵字數目不變；*y被移出一個關鍵字，故其keynum減1，因它原大於Min，故減少1個關鍵字後keynum仍大於等於Min；而*x中已移入一個關鍵字，故刪K後*x中仍有Min個關鍵字。涉及移動關鍵字的三個結點均滿足B-樹的性質(3)。 請讀者驗證，上述操作後仍滿足B-樹的性質(1)。移動完成後，刪除過程亦結束。
情形三：若*x及其相鄰的左右兄弟(也可能只有一個兄弟)中的關鍵字數目均爲最小值Min，則上述的移動操作就不奏效，此時須*x和左或右兄弟合併。不妨設*x有右鄰兄弟*y(對左鄰兄弟的討論與此類似)，在*x中刪去K後，將雙親結點*parent中介於*x和*y之間的關鍵字K，作爲中間關鍵字，與並x和*y中的關鍵字一起"合併"爲一個新的結點取代*x和*y。因爲*x和*y原各有Min個關鍵字，從雙親中移人的K'抵消了從*x中刪除的K，故新結點中恰有2Min(即2「m/2」-2≤m-1)個關鍵字，沒有破壞B-樹的性質(3)。但由於K'從雙親中移到新結點後，相當於從*parent中刪去了K'，若parent->keynum原大於Min，則刪除操作到此結束；否則，同樣要通過移動*parent的左右兄弟中的關鍵字或將*parent與其 左右兄弟合併的方法來維護B-樹性質。最壞情況下，合併操作會向上傳播至根，當根中只有一個關鍵字時，合併操作將會使根結點及其兩個孩子合併成一個新的根，從而使整棵樹的高度減少一層。如圖:
