寫在前面
上學的時候，有一門綜合評價的課程，那時候沒覺得以後會用到它，現在才發現是那麼實用，實際應用中如果採用單指標進行評價給人的感覺總是有偏駁的，除非是那種極其可靠且明確其重要性的指標。近期基本上把老課本里的方法翻了個老底，以前覺得這門課程似乎挺難的，現在看來只是以前沒有深入的好好看，方法簡單且實用。
綜合評價的方法一般是主客觀結合的，方法的選擇需基於實際指標數據情況選定，最爲關鍵的是指標的選取，以及指標權重的設置，這些需要基於廣泛的調研和紮實的業務知識，不能說單純的從數學上解決的。
以下幾種方法都是在實際中應用過的，在實際應用的我們遇到的狀況，也描述一下。
指標的正向化
指標一般分爲正向指標（越大越好）、逆向指標（越小越好）、適度指標（不能太小也不能太大）。爲了可以進行綜合彙總，需要解決同方向性，一般需要將逆向指標和適度指標正向化。
逆向指標正向化
- 倒數法：
- 最小閾值法：
最大閾值法（互補法）：
* 適度指標的正向化*
絕對值倒數法：反應了實際值與標準值之間的偏差，偏差越小越好，對應的轉化後的值越大，達到正向化的目的；
- 距離倒數法：跟絕對值倒數法類似
指標的無量綱化
指標的無量綱化可以消除指標間量級不同的影響，可以使各個指標轉化成可以直接加減的的數值，常用的消除定量指標無量綱化的方式如下
1、閾值比較法
x0表示閾值，閾值設置的越大，評價指標的反應越遲鈍，過小會過於靈敏，需根據實際需求確定，動態評價可以是被評價對象的歷史最優水平，也可以是基期水平，若爲計劃完成情況，可以爲計劃數，對實際水平的評價可以是同類被評價對象的最好水平或平均水平，閾值大小是可以不斷調整的。
2、中心化也稱均值化
此處的E可以是算術平均值，也可以是中位數、總數，根據實際需求來定。
3、規格化，最常用的就是這種
無量綱化之後，數據範圍0-1之間，表明了數據在全距中的相對位置。
4、標準化
該方法適用於數據量較大的情況，樣本數要在30以上，評價值在-1至1之間。
5、比重法
應用數據的結構指標來消除量綱的影響，前一種不適用於有負值的情況，後一種可以根據具體情形用於含負值的情況。
以上均爲直線型處理方法，也較爲常用，其他分段處理的情況可以再擴展。
指標權重設置
主觀賦權法
1、主觀賦權法，又稱專家賦權法，這個方法還是不要輕易用吧，除非你就是權威或者諮詢了權威。
2、層次分析法（AHP），綜合多個人的進行指標間重要性評價，將主客觀結合在一起得出權重，之前有寫過一個文檔，見末尾模糊綜合評價部分權重獲取附帶的鏈接。
以上兩種均爲主觀賦權法，也有比較偷懶不能明確指標間的重要性，採用等權法。
客觀賦權法
基本思想是利用各指標間的相互關係或提供的信息量來確定，實際通過對原始數據經過數學處理獲取權重，原始數據所包含的信息包括兩種，一種是指標變異程度上的信息差異，一般通過指標的標準差或變異係數來反映，一種是指標間的相互影響程度，這種信息一般隱含在指標見相關關係矩陣中，以下幾種賦權方法均是基於該兩點進行的；
1、變異係數法
其中
2、相關係數法
相關係數法是根據指標間的相關程度來確定各個指標重要性程度的方法，一般來說某一個評價指標與指標體系中的其他指標信息重複越多，說明該指標的變動越能被其他指標的變動所解釋，則該指標的變動越能夠被其他指標的變動所解釋，所以賦給其的權重越小。這個讓我想起了多重共線性，也是一種篩選指標的方法之一。
2.1 由於研究的是多指標綜合評價，首先需構建相關係數矩陣R；
2.2 類似求矩陣的解，構造分塊矩陣，求每個指標與其他指標的多元相關係數
獲取每個指標的多元相關係數
2.3 
2.4 
2.5 各指標權重如下
3、熵值法
熵值法本質上和變異係數法相類似，通過指標的離散程度來劃分權重，熵值越大所包含的信息量就越大，對綜合評價的影響越大，熵值得概念最初來至於物理學方面，可以自行百度，發現不同方面的理論知識是可以相互融合的，物理學和數學以及社會學似乎都有些東西是可以互相借鑑的。
3.1 指標的同向化，然後採用比重法將各個指標實際值轉化爲評價值
3.2 再計算每個指標的熵值
3.3 再計算差異係數dj=1-ej;
3.4 最後對差異係數進行歸一化處理，獲得各指標權重
4、坎蒂雷賦權法
坎蒂雷賦權法假設指標與的指標間的線性加權的綜合指數之間的相關係數是成比例的，將與綜合指數高度相關的指標賦予較高的權重，反之賦予較小的權重。基於該假設，指標的權重爲矩陣RS的最大特徵根所對應的特徵向量W，對W進行歸一化處理，作爲各個指標的權重，R爲p個指標的相關係數矩陣，S爲指標標準差所組成的對角矩陣。（PS這個方法沒有嘗試過）
主客觀賦權方法的選擇各有優劣，採用客觀賦權法的結論有時候會與經驗相悖，最好還是主客觀結合比較合理。
綜合評價數值的綜合方法
前面講了指標權重的獲取及無量綱化處理，將多指標進行綜合的方法主要有四大類，線性綜合法、幾何綜合法、混合綜合法和模型綜合法，簡單來說就是加權求和、加權幾何平均、線性加權與幾何綜合結合、模型綜合法較爲複雜，各個指標與綜合指數間的關係，除卻上述三種較爲簡單的以外，還有各種複雜的函數和相關關係，通過某種關係得到綜合評價數值，該關係必須爲描述對象間的關係清晰，可以用合適的數學表達式表述。以下列舉的幾種綜合評價的方法均屬於該範疇。
綜合評價方法
- 綜合評分法
綜合評分法是將各個指標轉化爲具體的分值後進行直接彙總的方式，主要是區間打分法和區間增量法；
區間打分法
區間打分法是劃分等級，一般爲5級，每個級別以2分遞增，將指標按照劃分標準進行打分，再基於確定好的指標權重，進行線性加權求和，得到綜合得分。這種對於非連續型變量可適用，不受指標形式的限制，例如評價一個人的長相，評價一個人的長相處於ABCDE那個水平，每個級別對應的分數爲10-8、8-6、6-4、4-2、2-0；
區間增量法
對各項指標的實際值，以同類指標的標準水平x0爲基礎進行打分,可取均值也可爲其他值，每高出或低於標準水平，則分數對應提高或減少，程度由分母D決定，具體公式如下：
最後基於每個指標的得分，進行線性加權得到綜合得分。
缺點，存在評價對象區分不明顯的現象。 - 綜合指數法
實際值與標準值進行對比後再使用線性綜合彙總得到綜合評分。
其中x0爲標準值，需根據實際需求靈活設置，p表示評價指標個數，w表示權重，若把最小值設爲0，則該公式等同於規格化後然後進行線性加權。
缺點是存在線性替代的現象。 - 秩和比評價方法
對各個指標或處理後的指標進行排秩，然後對秩進行加權綜合處理，進行綜合評價，但對於大數據量來說，成本較高。
秩和比計算公式如下，就是上面那句話的公式版乘100：
需注意的是秩和比是越小越好。 - 功效係數法
從公式中可以看出，實質上就是規格化後，增加兩個調整參數，參數可以靈活設置，可以用來限定功效係數的取值範圍。
然後計算功效係數的綜合值，可以採用線性綜合法，也可採用幾何綜合法。
有一點不同於其他方法的權重設置，一般指標權重可以設置爲任意實數，而功效係數法指標權重製定時，一般取1、2、3，1表示與其他評價指標相關的指標、2表示一般重要、3表示比較重要的指標，這個是在實踐中總結的經驗。 - 灰色關聯度評價法
適用於指標數較少，需要選定最優序列，實際運用中效果不錯。
基本原理如下，以前簡單寫下的：
需注意的是，最優序列的選擇的根據實際需求來定，可以是某一行業標準值也可以是最大值什麼的，記得逆向指標正向化，正向化的方法有很多種，這裏沒做說明，關聯繫數的公式構成其實跟規格化很像，只是採用的指數不同，分辨係數一般取0.5，可根據實際結果多次進行調整。另外計算出來的關聯繫數可能差距較小，這個可以根據個人需求做適當調整，調大兩兩之間的差距，且保持位勢不變。 - 模糊綜合評價
不建議使用這種方法，不適用於實際操作，指標重要性找幾個人幫你挨個評價，然後計算合理性，總覺得不可實行，去年剛剛畢業工作時寫的，現在看着寫的挺傻的，怎麼能想到這麼用，但是是模糊綜合評價的一個應用。
模糊綜合評價應用。 - 因子分析
這種方式的在實際應用中可解釋度相對較差，不直觀。
