</pre><pre name="code" class="html">
對於插入排序，我們將其僞代碼過程命名爲INSERTION-SORT，其中的參數是一個數組A［1..n］，包含長度爲n的要排序的一個序列。（在代碼中，A中元素的數目n用A.length來表示。）該算法原址排序輸入的數：算法在數組A中重排這些數，在任何時候，最多隻有其中的常數個數字存儲在數組外面。在過程INSERTION-SORT結束時，輸入數組A包含排序好的輸出序列。
INSERTION-SORT(A)
1 for j = 2 to A.length
2 key = A［j］
3 // Insert A［j］ into the sorted sequence A［1..j - 1］.
4 i = j - 1
5 while i > 0 and A［i］ > key
6 A［i+1］ = A［i］
7 i = i - 1
8 A［i + 1］ = key
循環不變式與插入排序的正確性
圖2-2表明對A=〈5,2,4,6,1,3〉該算法如何工作。下標j指出正被插入到手中的“當前牌”。在for循環（循環變量爲j）的每次迭代的開始，包含元素A［1..j-1］的子數組構成了當前排序好的左手中的牌，剩餘的子數組A［j+1..n］對應於仍在桌子上的牌堆。事實上，元素A［1..j-1］就是原來在位置1到j-1的元素，但現在已按序排列。我們把A［1..j-1］的這些性質形式地表示爲一個循環不變式：
在第1～8行的for循環的每次迭代開始時，子數組A［1..j-1］由原來在A［1..j-1］中的元素組成，但已按序排列。
圖2-2 在數組A=〈5,2,4,6,1,3〉上INSERTION-SORT的操作。數組下標出現在長方形的上方，數組位置中存儲的值出現在長方形中。（a)～（e)第1～8行for循環的迭代。每次迭代中，黑色的長方形保存取自A［j］的關鍵字，在第5行的測試中將它與其左邊的加陰影的長方形中的值進行比較。加陰影的箭頭指出數組值在第6行向右移動一個位置，黑色的箭頭指出在第8行關鍵字被移到的地方。（f)最終排序好的數組
/**
* 插入排序
* 對指定數組進行排序
* @param a 要排序的數組
* @return 返回排序好的數組
*/
public static int[] insertSort(int[] a){
for(int j=1;j<a.length;j++){
int key = a[j];
int i = j-1;
while(i>=0&&a[i]>key){
a[i+1] = a[i]; //將大的向後推移一個
i = i-1;
}
a[i+1] = key; //插入將要插入的數
}
return a;
}
循環不變式主要用來幫助我們理解算法的正確性。關於循環不變式，我們必須證明三條性質：
初始化：循環的第一次迭代之前，它爲真。
保持：如果循環的某次迭代之前它爲真，那麼下次迭代之前它仍爲真。
終止：在循環終止時，不變式爲我們提供一個有用的性質，該性質有助於證明算法是正確的。
當前兩條性質成立時，在循環的每次迭代之前循環不變式爲真。（當然，爲了證明循環不變式在每次迭代之前保持爲真，我們完全可以使用不同於循環不變式本身的其他已證實的事實。）注意，這類似於數學歸納法，其中爲了證明某條性質成立，需要證明一個基本情況和一個歸納步。這裏，證明第一次迭代之前不變式成立對應於基本情況，證明從一次迭代到下一次迭代不變式成立對應于歸納步。
第三條性質也許是最重要的，因爲我們將使用循環不變式來證明正確性。通常，我們和導致循環終止的條件一起使用循環不變式。終止性不同於我們通常使用數學歸納法的做法，在歸納法中，歸納步是無限地使用的，這裏當循環終止時，停止“歸納”。
讓我們看看對於插入排序，如何證明這些性質成立。
初始化：首先證明在第一次循環迭代之前（當j=2時），循環不變式成立。所以子數組A［1..j-1］僅由單個元素A［1］組成，實際上就是A［1］中原來的元素。而且該子數組是排序好的（當然很平凡）。這表明第一次循環迭代之前循環不變式成立。
保持：其次處理第二條性質：證明每次迭代保持循環不變式。非形式化地，for循環體的第4～7行將A［j-1］、A［j-2］、A［j-3］等向右移動一個位置，直到找到A［j］的適當位置，第8行將A［j］的值插入該位置。這時子數組A［1..j］由原來在A［1..j］中的元素組成，但已按序排列。那麼對for循環的下一次迭代增加j將保持循環不變式。
第二條性質的一種更形式化的處理要求我們對第5～7行的while循環給出並證明一個循環不變式。然而，這裏我們不願陷入形式主義的困境，而是依賴以上非形式化的分析來證明第二條性質對外層循環成立。
終止：最後研究在循環終止時發生了什麼。導致for循環終止的條件是j>A.length=n。因爲每次循環迭代j增加1，那麼必有j=n+1。在循環不變式的表述中將j用n+1代替，我們有：子數組A［1..n］由原來在A［1..n］中的元素組成，但已按序排列。注意到，子數組A［1..n］就是整個數組，我們推斷出整個數組已排序。因此算法正確。