ML实践——逻辑回归logistic regression

原理

从图中可以看出与perceptron的异同：

logistic regression model:

perceptron:

简单地说把Sigmoid function用作activation function。

ϕ(z)=11+e−z
ϕ(z)=z

Advantages:
1. Sigmoid function的收敛性更好
2. 逻辑回归是用通过计算一件事情发生的概率来预测事件是否发生

cost function

具体公式推导参见：链接
为什么cost function不再用平方差，而是用对数损失函数？这个问题我纠结了好久，最终在这里
看到一句话

“而在已知模型和一定样本的情况下，估计模型的参数，在统计学中常用的是极大似然估计方法”

所以说，选择的cost function与模型是有一定关系的。我们的log-likelihood function是极大似然函数的对数，我们要取对数？
1. 好求导
2. 防止numerical underflow发生（就是超出编译器里数值表示范围）

log-likelihood function
l(w)=∑ni=1log(ϕ(z(i)))+(1−y(i))log(1−ϕ(z(i)))

我们的目标是，为了Maximum 对数损失函数，找到最优的ϕ函数 ，也就是去找最优的weight

然而我们实际常用的是cost function是：
Min（-对数损失函数）+ L2regularation
其中L2 是为了防止过拟合：
J(w)=∑ni=1−log(ϕ(z(i)))+(1−y(i))(−log(1−ϕ(z(i))))+γ2||w||2

测试

>>> from sklearn.linear_model import LogisticRegression
>>> lr = LogisticRegression(C=1000.0, random_state=0)
>>> lr.fit(X_train_std, y_train)
>>> plot_decision_regions(X_combined_std,
... y_combined, classifier=lr,
... test_idx=range(105,150))
>>> plt.xlabel('petal length [standardized]')
>>> plt.ylabel('petal width [standardized]')
>>> plt.legend(loc='upper left')
>>> plt.show()

其中

>>> lr = LogisticRegression(C=1000.0, random_state=0)

里面的 C=1γ

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线性回归、逻辑回归、一般回归
http://blog.csdn.net/viewcode/article/details/8794401

1. 线性回归：以 高斯分布 为误差分析模型

2. 逻辑回归：以 伯努力分布 为误差分析模型
   逻辑回归的模型 是一个非线性模型，sigmoid函数，又称逻辑回归函数。但是它本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。可以说，逻辑回归，都是以线性回归为理论支持的。
   只不过，线性模型，无法做到sigmoid的非线性形式，sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

3. 一般回归：以 指数分布 为误差分析模型
   高斯分布、伯努力分布 属于 指数分布。softmax回归就是 一般线性回归的一个例子。有监督学习回归，针对多类问题（逻辑回归，解决的是二类划分问题），如数字字符的分类问题，0-9,10个数字，y值有10个可能性。