數字推理

第一步：整體觀察，若有線性趨勢則走思路A，若沒有線性趨勢或線性趨勢不明顯則走思路B。 
注：線性趨勢是指數列總體上往一個方向發展，即數值越來越大，或越來越小，且直觀上數值的大小變化跟項數本身有直接關聯（別覺得太玄乎，其實大家做過一些題後都能有這個直覺） 

第二步思路A：分析趨勢 
1， 增幅（包括減幅）一般做加減。 
基本方法是做差，但如果做差超過三級仍找不到規律，立即轉換思路，因爲公考沒有考過三級以上的等差數列及其變式。 
例1：-8，15，39，65，94，128，170，（） 
A．180 B.210 C. 225 D 256 
解：觀察呈線性規律，數值逐漸增大，且增幅一般，考慮做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一個增幅很小的線性數列，再做差得出1，2，3，5，8，很明顯的一個和遞推數列，下一項是5+8=13，因而二級差數列的下一項是42+13=55，因此一級數列的下一項是170+55=225，選C。 
總結：做差不會超過三級；一些典型的數列要熟記在心 

2， 增幅較大做乘除 
例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（） 
A．32 B. 64 C.128 D.256 
解：觀察呈線性規律，從0.25增到16，增幅較大考慮做乘除，後項除以前項得出1，2，4，8，典型的等比數列，二級數列下一項是8*2=16，因此原數列下一項是16*16=256 
總結：做商也不會超過三級 

3， 增幅很大考慮冪次數列 
例3：2，5，28，257，（） 
A．2006 B。1342 C。3503 D。3126 
解：觀察呈線性規律，增幅很大，考慮冪次數列，最大數規律較明顯是該題的突破口，注意到257附近有冪次數256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而數列的每一項必與其項數有關，所以與原數列相關的冪次數列應是1，4，27，256（原數列各項加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一項應該是5^5，即3125，所以選D 
總結：對冪次數要熟悉 

第二步思路B：尋找視覺衝擊點 
注：視覺衝擊點是指數列中存在着的相對特殊、與衆不同的現象，這些現象往往是解題思路的導引 
視覺衝擊點1：長數列，項數在6項以上。基本解題思路是分組或隔項。 
例4：1，2，7，13，49，24，343，（） 
A．35 B。69 C。114 D。238 
解：觀察前6項相對較小，第七項突然變大，不成線性規律，考慮思路B。長數列考慮分組或隔項，嘗試隔項得兩個數列1，7，49，343；2，13，24，（）。明顯各成規律，第一個支數列是等比數列，第二個支數列是公差爲11的等差數列，很快得出答案A。 
總結：將等差和等比數列隔項雜糅是常見的考法。 

視覺衝擊點2：搖擺數列，數值忽大忽小，呈搖擺狀。基本解題思路是隔項。 
20 5 
例5：64，24，44，34，39，（） 
10 
A．20 B。32 C 36.5 D。19 
解：觀察數值忽小忽大，馬上隔項觀察，做差如上，發現差成爲一個等比數列，下一項差應爲5/2=2.5，易得出答案爲36.5 
總結：隔項取數不一定各成規律，也有可能如此題一樣綜合形成規律。 

視覺衝擊點3：雙括號。一定是隔項成規律！ 
例6：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（） 
A．19，21 B。19，23 C。21，23 D。27，30 
解：看見雙括號直接隔項找規律，有1，3，7，13，（）；3，5，9，15，（），很明顯都是公差爲2的二級等差數列，易得答案21，23，選C 

例7：0，9，5，29，8，67，17，（），（） 
A．125，3 B。129，24 C。84，24 D。172，83 
解：注意到是搖擺數列且有雙括號，義無反顧地隔項找規律！有0，5，8，17，（）；9，29，67，（）。支數列二數值較大，規律較易顯現，注意到增幅較大，考慮乘除或冪次數列，腦中閃過8，27，64，發現支數列二是2^3+1，3^3+2，4^3+3的變式，下一項應是5^3+4=129。直接選B。回頭再看會發現支數列一可以還原成1-1，4+1,9-1,16+1,25-1. 
總結：雙括號隔項找規律一般只確定支數列其一即可，爲節省時間，另一支數列可以忽略不計 

視覺衝擊點4：分式。 
類型（1）：整數和分數混搭，提示做乘除。 
例8：1200，200，40，（），10/3 
A．10 B。20 C。30 D。5 
解：整數和分數混搭，馬上聯想做商，很易得出答案爲10 

類型（2）：全分數。解題思路爲：能約分的先約分；能劃一的先劃一；突破口在於不宜變化的分數，稱作基準數；分子或分母跟項數必有關係。 
例9：3/15，1/3，3/7，1/2，（） 
A．5/8 B。4/9 C。15/27 D。-3 
解：能約分的先約分3/15=1/5；分母的公倍數比較大，不適合劃一；突破口爲3/7，因爲分母較大，不宜再做乘積，因此以其作爲基準數，其他分數圍繞它變化；再找項數的關係3/7的分子正好是它的項數，1/5的分子也正好它的項數，於是很快發現分數列可以轉化爲1/5，2/6，3/7，4/8，下一項是5/9，即15/27 


例10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 
A．7/3 B 10/9 C -5/18 D -2 
解：沒有可約分的；但是分母可以劃一，取出分子數列有-4，10，12，7，1，後項減前項得 
14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5） 與分子數列比較可知下一項應是7/（-2）=-3.5，所以分子數列下一項是1+（-3.5）= -2.5。因此（-2.5）/9= -5/18 

視覺衝擊點5：正負交疊。基本思路是做商。 
例11:8/9, -2/3, 1/2, -3/8,（） 
A 9/32 B 5/72 C 8/32 D 9/23 
解：正負交疊，立馬做商，發現是一個等比數列，易得出A 

視覺衝擊點6：根式。 
類型（1）數列中出現根數和整數混搭，基本思路是將整數化爲根數，將根號外數字移進根號內 
例12：0 3 1 6 √2 12 ( ) ( ) 2 48 
A. √3 24 B．√3 36 C．2 24 D．2 36 
解：雙括號先隔項有0，1，√2，（），2；3，6，12，（），48.支數列一即是根數和整數混搭類型，以√2爲基準數，其他數圍繞它變形，將整數劃一爲根數有√0 √1 √2 （）√4，易知應填入√3；支數列二是明顯的公比爲2的等比數列，因此答案爲A 

類型（2）根數的加減式，基本思路是運用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b) 
例13：√2-1，1/(√3+1),1/3,() 
A(√5-1)/4 B 2 C 1/(√5-1) D √3 
解：形式劃一：√2-1=（√2-1）（√2+1）/(√2+1)=(2-1)/ (√2+1)=1/(√2+1),這是根式加減式的基本變形形式，要考就這麼考。同時，1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此，易知下一項是1/(√5+1)=( √5-1)/[( √5)^2-1]= (√5-1)/4. 

視覺衝擊點7：首一項或首兩項較小且接近，第二項或第三項突然數值變大。基本思路是分組遞推，用首一項或首兩項進行五則運算（包括乘方）得到下一個數。 
例14：2，3，13，175，（） 
A．30625 B。30651 C。30759 D。30952 
解：觀察，2，3很接近，13突然變大，考慮用2，3計算得出13有2*5+3=3，也有3^2+2*2=13等等，爲使3，13，175也成規律，顯然爲13^2+3*2=175,所以下一項是175^2+13*2=30651 
總結：有時遞推運算規則很難找，但不要動搖，一般這類題目的規律就是如此。 

視覺衝擊點8：純小數數列，即數列各項都是小數。基本思路是將整數部分和小數部分分開考慮，或者各成單獨的數列或者共同成規律。 

例15：1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（） 
A．8.13 B。 8.013 C。7.12 D 7.012 
解：將整數部分抽取出來有1，1，2，3，5，（），是一個明顯的和遞推數列，下一項是8，排除C、D；將小數部分抽取出來有1，2，3，5，8，（）又是一個和遞推數列，下一項是13，所以選A。 
總結：該題屬於整數、小數部分各成獨立規律 

例16：0.1，1.2，3.5，8.13，( ) 
A 21.34 B 21.17 C 11.34 D 11.17 
解：仍然是將整數部分與小數部分拆分開來考慮，但在觀察數列整體特徵的時候，發現數字非常像一個典型的和遞推數列，於是考慮將整數和小樹部分綜合起來考慮，發現有新數列0，1，1，2，3，5，8，13，（），（），顯然下兩個數是8+13=21，13+21=34，選A 
總結：該題屬於整數和小數部分共同成規律 

視覺衝擊點9：很像連續自然數列而又不連貫的數列，考慮質數或合數列。 
例17：1，5，11，19，28，（），50 
A．29 B。38 C。47 D。49 
解：觀察數值逐漸增大呈線性，且增幅一般，考慮作差得4，6，8，9，……，很像連續自然數列而又缺少5、7，聯想和數列，接下來應該是10、12，代入求證28+10=38，38+12=50，正好契合，說明思路正確，答案爲38. 

視覺衝擊點10：大自然數，數列中出現3位以上的自然數。因爲數列題運算強度不大，不太可能用大自然數做運算，因而這類題目一般都是考察微觀數字結構。 
例18：763951，59367，7695，967，（） 
A．5936 B。69 C。769 D。76 
解：發現出現大自然數，進行運算不太現實，微觀地考察數字結構，發現後項分別比前項都少一位數，且少的是1，3，5，下一個缺省的數應該是7；另外缺省一位數後，數字順序也進行顛倒，所以967去除7以後再顛倒應該是69，選B。 

例19：1807，2716，3625，（） 
A．5149 B。4534 C。4231 D。5847 
解：四位大自然數，直接微觀地看各數字關係，發現每個四位數的首兩位和爲9，後兩位和爲7，觀察選項，很快得出選B。 

第三步：另闢蹊徑。 
一般來說完成了上兩步，大多數類型的題目都能找到思路了，可是也不排除有些規律不容易直接找出來，此時若把原數列稍微變化一下形式，可能更易看出規律。 

變形一：約去公因數。數列各項數值較大，且有公約數，可先約去公約數，轉化成一個新數列，找到規律後再還原回去。 
例20：0，6，24，60，120，（） 
A．186 B。210 C。220 D。226 
解：該數列因各項數值較大，因而拿不準增幅是大是小，但發現有公約數6，約去後得0，1，4，10，20，易發現增幅一般，考慮做加減，很容易發現是一個二級等差數列，下一項應是20+10+5=35，還原乘以6得210。 

變形二：因式分解法。數列各項並沒有共同的約數，但相鄰項有共同的約數，此時將原數列各數因式分解，可幫助找到規律。 
例21：2，12，36，80，（） 
A．100 B。125 C 150 D。175 
解：因式分解各項有1*2，2*2*3，2*2*3*3，2*2*2*2*5,稍加變化把形式統一一下易得1*1*2，2*2*3，3*3*4，4*4*5，下一項應該是5*5*6=150，選C。 

變形三：通分法。適用於分數列各項的分母有不大的最小公倍數。 
例22：1/6,2/3,3/2,8/3,() 
A.10/3 B.25/6 C.5 D.35/6 
解：發現分母通分簡單，馬上通分去掉分母得到一個單獨的分子數列1，4，9，16，（）。增幅一般，先做差的3，5，7，下一項應該是16+9=25。還原成分母爲6的分數即爲B。 

第四步：蒙猜法，不是辦法的辦法。 
有些題目就是百思不得其解，有的時候就剩那麼一兩分鐘，那麼是不是放棄呢？當然不能！一分萬金啊，有的放矢地蒙猜往往可以救急，正確率也不低。下面介紹幾種我自己琢磨的蒙猜法。 
第一蒙：選項裏有整數也有小數，小數多半是答案。 
見例5：64，24，44，34，39，（） 

A．20 B。32 C 36.5 D。19 
直接猜C！ 

例23：2，2，6，12，27，（） 
A．42 B 50 C 58.5 D 63.5 
猜：發現選項有整數有小數，直接在C、D裏選擇，出現“.5”的小數說明運算中可能有乘除關係，觀察數列中後項除以前項不超過3倍，猜C 
正解：做差得0，4，6，15。（0+4）*1.5=6 (2+6)*1.5=12 (4+6)*1.5=15 (6+15)*1.5=31.5，所以原數列下一項是27+31.5=58.5 

第二蒙：數列中出現負數，選項中又出現負數，負數多半是答案。 
例24：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9,( ) 
A．7/3 B.10/9 C -5/18 D.-2 
猜：數列中出現負數，選項中也出現負數，在C/D兩個裏面猜，而觀察原數列，分母應該與9有關，猜C。 

第三蒙：猜最接近值。有時候貌似找到點規律，算出來的答案卻不在選項中，但又跟某一選項很接近，別再浪費時間另找規律了，直接猜那個最接近的項，八九不離十！ 
例25：1，2，6，16，44，（） 
A．66 B。84 C。88 D。120 
猜：增幅一般，下意識地做了差有1，4，10，28。再做差3，6，18，下一項或許是（6+18）*2=42，或許是6*18=108，不論是哪個，原數列的下一項都大於100，直接猜D。 

例26：0.，0，1，5，23，（） 
A．119 B。79 C 63 D 47 
猜：首兩項一樣，明顯是一個遞推數列，而從1，5遞推到25必然要用乘法，而5*23=115，猜最接近的選項119 

第四蒙：利用選項之間的關係蒙。 
例27：0，9，5，29，8，67，17，（），（） 
A．125，3 B129，24 C 84，24 D172 83 
猜：首先注意到B，C選項中有共同的數值24，立馬會心一笑，知道這是陰險的出題人故意設置的障礙，而又恰恰是給我們的線索，第二個括號一定是24！而根據之前總結的規律，雙括號一定是隔項成規律，我們發現偶數項9，29，67，（）後項都是前項的兩倍左右，所以猜129，選B 

例28：0，3，1，6，√2，12，（），（），2，48 
A．√3，24 B。√3，36 C 2，24 D√2，36 
猜：同上題理，第一個括號肯定是√3！而雙括號隔項成規律，3，6，12，易知第二個括號是24，很快選出A