基於因果強度與自迴歸的預測模型

第一次寫博客，語言組織上還望見諒.

本篇文章內容主要通過建模的方式量化時間序列X到時間序列Y的因果影響強度，通過確定合適的因果關係來提高序列的可預測性。

在講述文章模型前，我們首先了解下兩點必要的知識內容。

一、馬爾科夫鏈及馬爾科夫的過程表示

           

二、最小二乘法求取自迴歸模型係數

首先針對一個含有n個樣本的序列線性化表示如下：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&{x_1^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{x_1^{\left( m \right)}} \\ 
  1&{x_2^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{x_2^{\left( m \right)}} \\ 
   \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\ 
  1&{x_n^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{x_n^{\left( m \right)}} 
\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\beta _0}} \\ 
  {{\beta _1}} \\ 
   \vdots  \\ 
  {{\beta _m}} 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{y_1}} \\ 
  {{y_2}} \\ 
   \vdots  \\ 
  {{y_n}} 
\end{array}} \right]\]

即\[A\beta  = Y\]，對於最小二乘法來說就是最後獲取最優解爲：

而對於一個P階的自迴歸模型，只需要將上述線性方程組描述爲下述形式：

\[\begin{gathered}
  x\left[ {p + 1} \right] = {\beta _p}x\left[ 1 \right] + {\beta _{p - 1}}x\left[ 2 \right] +  \ldots  + {\beta _1}x\left[ p \right] \hfill \\
  x\left[ {p + 2} \right] = {\beta _p}x\left[ 2 \right] + {\beta _{p - 1}}x\left[ 3 \right] +  \ldots  + {\beta _1}x\left[ {p + 1} \right] \hfill \\
   \cdots  \cdots  \hfill \\
  x\left[ N \right] = {\beta _p}x\left[ {N - p} \right] + {\beta _{p - 1}}x\left[ {N - p + 1} \right] +  \ldots  + {\beta _1}x\left[ {N - 1} \right] \hfill \\ 
\end{gathered} \]

其中N表示序列的長度。

好了，到此爲止大致瞭解了所相關的一些知識，下面就是模型的公式了。

三、因果強度模型的構建

熵的計算公式爲：

故因果強度計算如下：

\[f\left( {y_{t - 1}^{\left( l \right)},x_{i,t - 1}^{\left( k \right)}} \right) = {b_{i,0}} + b_i^Ty_{t - 1}^{\left( l \right)} + c_i^Tx_{i,t - 1}^{\left( k \right)}\]

主要參考文獻：

[1]Causality Quantification and Its Applications:Structuringand Modeling of Multivariate Time Series

[2]https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51589143

[3]https://blog.csdn.net/u014557232/article/details/50986298