算法概論（註釋版）習題8.8

習題8.8

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題目要求：
In the Exact 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a dijunction of exactly foour literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that Exact 4SAT is NP-complete.

答：SAT->4SAT
設SAT：a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ a4 ∨ a5 ∨ … ∨ an
則該SAT可變爲4SAT：（a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ x1） ^ (~x1 ∨ a4 ∨ a5 ∨ x2) ^ … ^ (~x( (n-6)/2 ) ∨ a(n-4) ∨ a (n-3) ∨ x( (n-4)/2 ) ) ^ (~x( (n-4)/2 ) ∨ a(n-2) ∨ a(n-1) ∨ an)。

1. 當存在一個真值指派使得該4SAT爲真時，也存在一個真值指派使得SAT爲真。假設所有ai均爲假，1 <= i <= n，則x1，x2，…，x( (n-4)/2 )和~x( (n-4)/2 )必爲真。但是所以x( (n-4)/2 )和~x( (n-4)/2 )不可能同時爲真，所以至少有一個ai爲真，此時SAT爲真。所以，當存在一個真值指派使得該4SAT爲真時，SAT也爲真。
2. 當不存在一個真值指派使得該SAT爲真時，也不存在一個真值指派使得該4SAT爲真。要證明這個命題，我們可以證明它的逆否命題：存在一個真值指派使得該4SAT爲真時，也存在一個真值指派使得該SAT爲真。這個命題就是我們證明的第一個命題，所以它的逆否命題也爲真，即：當不存在一個真值指派使得該SAT爲真時，也不存在一個真值指派使得該4SAT爲真。
3. 這種轉換的時間複雜度爲O(n)，是線性的。

綜上所述， Exact 4SAT* 問題也是NP-complete。