其實從寒假就知道線段樹這個東西了,但是嫌線段樹寫得長,一直用樹狀數組。
但最近發現線段樹也很不錯,於是就去做洛谷的兩個線段樹模板題(第一個模板曾經用樹狀數組A過)。
又因爲去機房的時間較短較分散,於是就在自習課上對着線段樹的那張圖imagine線段樹的原理並手動coding。
對就是這張醜圖
先說三個宏定義
#define ls (i << 1)
#define rs ((i << 1) | 1)
#define mid ((n[i].l + n[i].r) >> 1)
一定要加括號啊!!!
首先我們要建樹
怎麼看都要二分遞歸嘛~~~
遞歸到葉子(l == r)就把初始數組的相應位置的值丟到線段樹裏
然後往上回溯,順便改區間值
inline void built(int i, int l, int r)//過去式防與關鍵字衝突
{
n[i].l = l;
n[i].r = r;
if(l == r)
{
n[i].sm = read();
return ;
}
int md = (l + r) >> 1;
built(ls, l, md);
built(rs, md + 1, r);
ud(i);
return ;
}
如果輸入順序就是初始數組的順序就不用存初始數組了,直接建樹時讀入(反正先遞歸左邊的區間)
ud就是updata,改區間值,簡單粗暴
inline void ud(int i)
{
n[i].sm = (n[ls].sm + n[rs].sm) % P;
return ;
}
然後就是單點修改
從根跑到葉子
跑到哪改到哪
inline void cp(int i, int k, int x)// change point
{
if(n[i].l == k && k == n[i].r)
{
n[i].sm += x;
return ;
}
if(k <= mid) cp(ls, k, x);
else cp(rs, k, x);
return ;
}
區間查詢也很無腦
如果我要查的區間完全蓋住了當前區間,就返回當前的區間值。如果只有一部分重合,就擺~動~(dx:擺動大法好)。和左邊有重合就往左擺,和右邊有重合就往右擺。注意mid是在左區間裏。
inline long long gs(int i, int l, int r)
{
if(l <= n[i].l && r >= n[i].r)
return n[i].sm;
long long ans = 0;
if(l <= mid) ans += gs(ls, l, r);//區間端點完全傳下去!!!
if(r > mid) ans += gs(rs, l, r);
return ans;
}
區間修改就麻煩些了
如果我們仍然從根開始,跑到哪改到哪,直到每個葉子,其實複雜度比暴力還高
於是我們就想優化:Lazy!
如果當前區間完全要被修改,就只改這個區間而不去改它的兒子們(就是懶得改兒子),我們下次在見到這個區間時(不管是修改時還是查詢時見到它),再去改它的F1兩個兒子
也就是打Lazy標記和把Lazy標記傳給兒子(Push Down)
Lazy標記的意義:當前區間已被修改而它的兒子沒有改
inline void pda(int i, int ln, int rn)
{
n[ls].lza = (n[ls].lza + n[i].lza) % P;
n[rs].lza = (n[rs].lza + n[i].lza) % P;
//父親的lazy給兒子
n[ls].sm = (n[ls].sm + n[i].lza * ln) % P;
n[rs].sm = (n[rs].sm + n[i].lza * rn) % P;
n[i].lza = 0;
//它的兒子被改了,它自己就不用Lazy了
return ;
}
inline void csa(int i, int l, int r, int x)
{
if(n[i].l >= l && n[i].r <= r)
{
n[i].sm = (n[i].sm + x * (n[i].r - n[i].l + 1)) % P;
//區間的sum都被加了x,所以要乘區間長度!!!
n[i].lza = (n[i].lza + x) % P;
//lazy標記就只記這個區間要+x,加多少取決於區間長,與lazy標記無關(果然有夠lazy)
return ;
}
if(n[i].lza) pda(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(mid < r) csa(rs, l, r, x);
if(l <= mid) csa(ls, l, r, x);
ud(i);
return ;
}
以上內容完全可以用樹狀數組實現嘛QWQ
但如果加法和乘法一塊改區間時樹狀數組就炸了
然而我線段樹也炸了調了1h
我們用加法lazy和乘法lazy共同維護線段樹
- 如果我先加一個數再乘一個數,由乘法分配律知,相當於先乘一個數再加一個數
所以傳標記時先傳乘再傳加 - 區間每個數都乘一個數,由乘法結合律知,相當於整個區間都乘一個數,即a1 * x + a2 * x … = x * (a1 + a2 + …),即區間乘修改時不用乘區間長度
- lazy乘的初值賦1!!!x * 0 = 0, x * 1 = x
- 乘法會影響加法,因爲先傳了乘法。所以lazy乘改了lazy加也要相應的改
其實線段樹最簡單的地方就是可以複製粘貼,區間乘把區間加的複製過來一改就行
inline void pdm(int i, int ln, int rn)
{
n[ls].lzm = (n[ls].lzm * n[i].lzm) % P;
n[rs].lzm = (n[rs].lzm * n[i].lzm) % P;
n[ls].lza = (n[ls].lza * n[i].lzm) % P;
n[rs].lza = (n[rs].lza * n[i].lzm) % P;
n[ls].sm = (n[ls].sm * n[i].lzm) % P;
n[rs].sm = (n[rs].sm * n[i].lzm) % P;
n[i].lzm = 1;
return ;
}
inline void csm(int i, int l, int r, int x)
{
if(n[i].l >= l && n[i].r <= r)
{
n[i].sm = (n[i].sm * x) % P;
n[i].lzm = (n[i].lzm * x) % P;
n[i].lza = (n[i].lza * x) % P;
return ;
}
if(n[i].lzm != 1) pdm(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(n[i].lza) pda(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(mid < r) csm(rs, l, r, x);
if(l <= mid) csm(ls, l, r, x);
ud(i);
return ;
}
長得好像有木有っ゚Д゚)っ
最後就是完整的模板了
真的好長
/*********
push down multiply first
then push down add
*********/
#include <cstdio>
using namespace std;
inline long long read()
{
long long n = 0,k = 1;
char ch = getchar();
while ((ch > '9' || ch < '0') && ch != '-') ch = getchar();
if(ch == '-') k = -1, ch = getchar();
while (ch <= '9' && ch >= '0')
{
n = n * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return n * k;
}
inline void print(long long n)
{
if(n < 0) {putchar('-'); n = -n;}
if(n > 9) print(n / 10);
putchar(n % 10 + '0');
return ;
}
struct Node
{
int l, r;
long long sm, lza, lzm; //lazy_multiply
Node()
{
lzm = 1;
}
}n[500420];
long long N, M, P;
#define ls (i << 1)
#define rs ((i << 1) | 1)
#define mid ((n[i].l + n[i].r) >> 1)
inline void ud(int i)
{
n[i].sm = (n[ls].sm + n[rs].sm) % P;
return ;
}
inline void built(int i, int l, int r)
{
n[i].l = l;
n[i].r = r;
if(l == r)
{
n[i].sm = read();
return ;
}
int md = (l + r) >> 1;
built(ls, l, md);
built(rs, md + 1, r);
ud(i);
return ;
}
inline void pda(int i, int ln, int rn)
{
n[ls].lza = (n[ls].lza + n[i].lza) % P;
n[rs].lza = (n[rs].lza + n[i].lza) % P;
n[ls].sm = (n[ls].sm + n[i].lza * ln) % P;
n[rs].sm = (n[rs].sm + n[i].lza * rn) % P;
n[i].lza = 0;
return ;
}
inline void pdm(int i, int ln, int rn)
{
n[ls].lzm = (n[ls].lzm * n[i].lzm) % P;
n[rs].lzm = (n[rs].lzm * n[i].lzm) % P;
n[ls].lza = (n[ls].lza * n[i].lzm) % P;
n[rs].lza = (n[rs].lza * n[i].lzm) % P;
n[ls].sm = (n[ls].sm * n[i].lzm) % P;
n[rs].sm = (n[rs].sm * n[i].lzm) % P;
n[i].lzm = 1;
return ;
}
inline long long as(int i, int l, int r) // answer section
{
if(n[i].l >= l && n[i].r <= r)
return n[i].sm;
if(n[i].lzm != 1) pdm(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(n[i].lza) pda(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
long long ans = 0;
if(l <= mid) ans = (ans + as(ls, l, r)) % P;
if(r > mid) ans = (ans + as(rs, l, r)) % P;
return ans;
}
inline void csa(int i, int l, int r, int x)
{
if(n[i].l >= l && n[i].r <= r)
{
n[i].sm = (n[i].sm + x * (n[i].r - n[i].l + 1)) % P;
n[i].lza = (n[i].lza + x) % P;
return ;
}
if(n[i].lzm != 1) pdm(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(n[i].lza) pda(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(mid < r) csa(rs, l, r, x);
if(l <= mid) csa(ls, l, r, x);
ud(i);
return ;
}
inline void csm(int i, int l, int r, int x)
{
if(n[i].l >= l && n[i].r <= r)
{
n[i].sm = (n[i].sm * x) % P;
n[i].lzm = (n[i].lzm * x) % P;
n[i].lza = (n[i].lza * x) % P;
return ;
}
if(n[i].lzm != 1) pdm(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(n[i].lza) pda(i, mid - n[i].l + 1, n[i].r - mid);
if(mid < r) csm(rs, l, r, x);
if(l <= mid) csm(ls, l, r, x);
ud(i);
return ;
}
inline void prt()
{
putchar('#');
for(register int i = 1; i <= N; i++)
printf("%lld ", as(1, i, i));
putchar(10);
return ;
}
int main()
{
N = read();
M = read();
P = read();
built(1, 1, N);
//prt();
register int f, x, y, z;
for(register int i = 1; i <= M; i++)
{
f = read();
if(f == 1)
{
x = read();
y = read();
z = read();
csm(1, x, y, z);
//prt();
}
else if(f == 2)
{
x = read();
y = read();
z = read();
csa(1, x, y, z);
//prt();
}
else
{
x = read();
y = read();
print(as(1, x, y));
putchar(10);
//prt();
}
}
return 0;
}
結合樹剖食用更佳(~ ̄▽ ̄)~