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在看《計算機程序設計藝術-第一卷-基本算法》第一章時看到了一個有趣的等式，這個等式如下：
下面我們來看看這個等式的證明，建議大家自己先想想怎麼去證明這個公式。
數學歸納法應該是可以證明的，好像也沒什麼意思，那麼我們來看看下面的這個證明,最外層的每個小正方形邊長爲5
（看不到下面圖片的請點擊最下面的【查看全文】）
大家可以開動自己的腦筋去想想這個圖是怎麼證明上面的公式。。。。。。。。
答案可以看後面的解釋。
當然我們是搞軟件的，學這些數學知識幹什麼呢，這本書叫做程序設計藝術是不是搞錯了啊，這麼低級的錯誤應該不可能，這可是國防科技大學翻譯的，看來這個東西和程序設計有關係啊，但是到底有什麼用呢？？？
我們看等式前面如果在計算機上運行需要執行3n次乘法和n-1次加法，再看看等號後面的等式在計算機上運行會執行1次乘法和n-1次加法，這樣看來用等號後面計算可以節省3n次乘法，乘法是很消耗CPU的
如果這個算法放在一個百萬併發的網站上運行的話，我們就可以節省3*N*百萬級次的乘法運行，有點小興奮，看來寫這個書的人，果然是大師級人物，在他看來就是藝術。。。
這個時候很好奇到底這樣做能節省多少時間呢？於是寫了個程序驗證了等式左邊和右邊的所用的時間，左邊執行時間平均是31秒，右邊執行時間是17秒，才提升了14秒啊，問題又來了，17秒還可以優化嗎？還能節省時間嗎？
分析上面的時間分佈可以知道，加法的時間一樣，也就是說乘法使用了14秒，加法使用了17秒，想要優化後面的17秒就必須減少加法次數。
問題定位爲怎麼提高(1+2+...+n)的效率，相信大家都會了。
1+2+...n=n*(n+1)/2,哇塞，最後又得到左邊的等式還等於(n*(n+1)/2)*(n*(n+1)/2)，經過這個變換後，我們計算右邊的結果的算法複雜度是2次乘法，1次加法，1次除法。
比較3個算法複雜度：
左邊：3*n次乘法和n-1次加法
右邊（未優化）：n-1次加法
右邊（優化後）：2次乘法，1次加法，1次除法
很明顯，優化後的算法已經和n沒有關係了，不管業務上的n如果變化都不會影響到執行時間，夢寐以求的算法啊！！
下面是一個驗證程序：
/*
* 創建日: 2011-6-16
*/
public class TestMain {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
TestMain tm = new TestMain();
long start =System.currentTimeMillis();
int index;
for(index=0;index<1000000;index++) {
tm.leftsum(10000);
}
long end =System.currentTimeMillis();
System.out.println(end-start);
//******************************
start =System.currentTimeMillis();
for(index=0;index<1000000;index++) {
tm.rightsum(10000);
}
end =System.currentTimeMillis();
System.out.println(end-start);
//******************************
start =System.currentTimeMillis();
for(index=0;index<1000000;index++) {
tm.rightsum1(10000);
}
end =System.currentTimeMillis();
System.out.println(end-start);
}
private long leftsum(int n) {
long ret =0;
for (int index=1;index<=n;index++) {
ret = ret + index*index*index;
}
return ret;
}
private long rightsum(int n) {
long ret =0;
for (int index=1;index<=n;index++) {
ret = ret + index;
}
return ret*ret;
}
private long rightsum1(int n) {
long ret =0;
ret = n*(n+1)/2;
return ret*ret;
}
}
打印的結果是：
31000
16922
0
第三個算法的執行時間是0，第三個算法執行了200萬次乘法，100萬次加法，100萬次除法，CPU太快了，不花時間就搞定，充分說明以前聽說的JAVA指令也是1秒鐘可以執行上億條的說法沒問題。
其實還有一個遺留的問題，就是怎麼證明上面的圖形是正確的呢？？
通過這個1+2+...+n=n*(n+1)/2就可以證明了。